利用圖像“頂天立地”解多元參數題

浙江省杭州高級中學 (310003) 王希年

我們知道，二次函數f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像與函數y=ax2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當于函數g(x)=ax2的圖像經過平移而得到的.而函數y=ax2的圖像可以看作對函數y=x2的圖像進行了伸縮變換，拋物線的開口大小由|a|決定，|a|越大，開口越小.也可以把二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖像看成是y=ax2和y=bx+c圖像的縱向疊加，也可以看成是y=ax2和y=-bx-c圖像的縱向減損.

波利亞的“怎樣解題表”將解題過程分成了四個步驟：第一，你必須弄清問題.第二，找出已知數與求知數之間的聯系.第三，擬定、實行你的計劃.第四，驗算所得到的解，回顧反思.

在課堂教學中，我們用波利亞的四個步驟來講題.下面通過一些例題及變式來講清楚“頂天立地”的方法，以供教學參考.

一、利用圖像平移，恰好“頂天立地”時，找問題解決方案

例1 設函數f(x)=|x2+ax+b|在[0,2]上的最大值為M，求M的最小值.

分析:1°函數y=x2+ax+b與y=x2的圖像形狀相同，函數y=x2+ax+b的圖像相當于函數y=x2的圖像經過平移而得到的.

3°在對稱軸右側，函數y=x2遞增，遞增速度越來越快；在對稱軸左側，函數y=x2遞減，遞減速度越來越慢.因此，當函數g(x)=x2+ax+b的對稱軸在區間[0,2]的中點時，g(x)max-g(x)min最小，即n-m最小.所以，當g(0)=g(2)=M，g(1)=-M.現把直線y=M叫做天線，把直線y=-M叫做地線，g(x)=x2+ax+b的圖像“頂天立地”時，M取得最小值.

2°圖像分析得出的解是不嚴密的，在分析好答案后，要嚴格給出代數推理并給于論證.

二、利用伸縮變換，恰好“頂天立地”時，找問題解決方案

例2 (2010年全國聯賽一試)已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，當0≤x≤1時，|f′(x)|≤1，試求a的最大值．

分析:1°我們知道f′(x)=3ax2+2bx+c的圖像與函數y=3ax2的圖像形狀相同，f′(x)的圖像相當于函數g(x)=3ax2的圖像經過平移而得到的，|3a|越大，拋物線的開口越小，函數g(x)=3ax2的圖像可以看成是y=x2的圖像經過伸縮變換而得到的.

變式2 設函數f(x)=kx2+ax+b(k>0),記M為函數y=|f(x)|在[-1,1]上的最大值，N為|a|+|b|的最大值，若M=2k，求N.

分析:1°由文章開頭所述，f(x)=kx2+ax+b(a,b∈R)的圖像與函數y=kx2的圖像形狀相同，f(x)的圖像相當于函數g(x)=kx2的圖像經過平移而得到的.在對稱軸右側，函數g(x)=kx2遞增，遞增速度越來越快；在對稱軸左側，函數g(x)=kx2遞減，遞減速度越來越慢.

當長度為2的區間[t,t+2]在g(x)=kx2對稱軸右側時，t>0,g(x)max-g(x)min=g(t+2)-g(t)=4tk+4k>4k;當長度為2的區間[t,t+2]在g(x)=kx2對稱軸左側時，t<-2,g(x)max-g(x)min=g(t)-g(t+2)=-4tk-4k>4k;但當g(x)=kx2對稱軸在[t,t+2]內時，-2≤t≤0，g(x)max-g(x)min=max{g(t),g(t+2)}-g(0)=max{g(t),g(t+2)}≤4k.

2°固定1°中長度為2的區間[t,t+2]為[-1,1]，讓函數g(x)=kx2平移成f(x)的圖像，由1°知道，當區間在f(x)的對稱軸的右邊或左邊時，f(x)max-f(x)min>4k，因此，f(x)max>2k和

f(x)min<-2k，一定有一個成立，否則f(x)max-

f(x)min≤4k.這樣必有M>2k.

3°由1°和2°知，當a,b滿足M≤2k時，f(x)的對稱軸在區間[-1,1]內，回到原始情形，先把函數g(x)=kx2的圖像左右平移|t|個單位，再向下平移-n個單位，得到y=k(x-t)2+n(-1≤t≤1,-2k≤n<0).即y=kx2-2tkx+kt2+n，當-1≤t≤0時，f(x)max=f(1)=k(1-t)2+n≤2k，即n≤2k-(1-t)2k對-1≤t≤0恒成立，則n≤-2k，又由-2k≤n<0，所以n=-2k.

同理，當0≤t≤1時，f(x)max=f(-1)=k(-1-t)2+n≤2k，即n≤2k-(1+t)2k對0≤t≤1恒成立，則n≤-2k，又由-2k≤n<0，所以n=-2k.此時y=k(x-t)2-2k(-1≤t≤1),|a|+|b|=2k|t|+k|t2-2|=-kt2+2k|t|+2k=-k(|t|-1)2+3k≤3k，當t=±1時，|a|+|b|取最大值3k.

反思:先確定f(x)的對稱軸在區間[-1,1]內，|a|與左右平移量有關，|b|與上下平移量有關，從而猜想|a|+|b|取最大值時，對稱軸靠邊，并且{f(-1),f(1)}={-2k,2k}.

三、利用圖像疊加，恰好“頂天立地”時，找問題解決方案

(1)證明：f(b)≤f(a)；(2)設f(a)-f(b)≤M(a,b)，求M(a,b)的最小值.

分析:分別畫出y=2x和y=cosπx在[0,1]的圖像，兩圖形疊加即為f(x)=2x+cosπx的圖像，由描點可近似地畫出f(x)的圖像是有兩個極值點的N形圖像.

圖1 圖2

圖3

反思:運算過程中適當運用圖形幫助理解，可以得到更清晰的解題思路，可以提高解題的正確率，所以，我們說數形結合中，數也離不開形.

變式3 已知f(x)=8x3+ax2+bx，是否存在實數a,b，使得對任意x∈[-1,1]，均有|f(x)|≤2.若存在，求出a,b的值；若不存在，請說明理由.

分析:f(x)=8x3+ax2+bx的圖像可以看成是函數y=8x3和g(x)=ax2+bx的圖像疊加，y=8x3在[-1,1]上的值域為[-8,8]，與g(x)=ax2+bx的圖像疊加后，要使|f(x)|≤2成立，先考察兩端，必須g(1)=a+b≤-6,g(-1)=a-b≥6，相減消去a得b≤-6，但當a>0時，f(1)=8+a+b≤2+a，|f(1)|≤2不一定成立；當a<0時，f(-1)=-8+a-b≥-2+a，|f(-1)|≤2不一定成立；

圖4

畫圖疊加，當a≠0時，|f(x)|≤2不恒成立.

上圖是函數y=8x3和g(x)=-6x的圖像疊加所得，圖像與直線y=2和直線y=-2“頂天立地”，若改變b的取值，就會改變這種極致情形，使得|f(x)|≤2不恒成立.所以存在a=0，b=-6，使得對任意x∈[-1,1]，均有|f(x)|≤2.

解析:根據題意，有

四、利用圖像減損，恰好“頂天立地”時，找問題解決方案

圖5

首先，任意一條與拋物線E無公共點的線段，都可以通過平移，使其與拋物線E有公共點，并在此過程中，M(a,b)變小，如圖5.

圖6

反思：前面題中的天、地線是水平的，本題的天、地線是斜向的.這不影響問題的本質.

圖7

解析:設f(x)=

課堂教學中，要想讓學生聽懂，且印象深刻，就要從問題的本質入手，要做充分的鋪墊.課堂教學中要講透一道題，不僅要講方法，還要講內涵，講背景，這樣學生對這道題的認識是立體的.本文從圖像變換及圖像的疊加和減損的視角，來揭示一類多元參數題的內在本質，之中幾何圖像運動變化輔助較多，代數問題直觀展示，形數互助，善莫大焉，這正如單墫教授在一書中寫道：“數學大花園里，幾何是最美的部分”[3]，數學老師應該多用點時間把數學的直觀美感展現給你的學生.

[1]波利亞.怎樣解題[M]，涂泓，馮承天譯，上海科技出版社，2007.

[2]石秀福，王希年.一類二次函數考題的平移背景研究[J].中學教研(數學)，2016(7)42-45.

[3]單墫平面幾何的小花[M]，上海教育出版社，2002.