引導學生觀察問題 培養學生解題能力

廣東梅州市大埔縣虎山中學 (514299) 江中偉

在數學學習中，觀察是一種很重要的思維活動，要想學好數學，首先要學會觀察.觀察的對象可分為兩類：一類是用符號、字母、數字所表示的或文字所表示的數學關系式、命題或問題；另一類是圖表、圖像、幾何圖形.觀察是解題的基礎，是思維的起點.因而在數學例題教學中，培養學生勤于觀察、善于觀察的良好習慣，對提高學生的解題能力、數學素質十分重要.現結合本人的教學實踐，談談在例題教學中如何引導學生進行觀察，培養數學能力的.

一、引導學生觀察題設和結論的特征——培養學生解題能力

在數學例題教學中，教師引導學生通過對題目中的條件和結論特征的仔細觀察，可以建立起聯系它們的橋梁，從而由已知通向未知.這是解題常使用的一種觀察方法.

例1 若a+b-c=0，證明直線系ax+by+c=0恒過一定點.

分析：觀察條件式和直線系方程的形式，并加以比較，然后分別將直線系方程和條件式變成-ax-by-c=0①,-a·(-1)-b·(-1)-c=0②

對照①、②，發現點(-1,-1)在直線上，故知直線系恒過定點(-1,-1).

二、引導學生觀察命題式子結構特征——培養學生解題能力

在數學解題中，有些數學問題，一時難以觀察到某些特征.但是如果教師引導學生對問題稍加分析，使得對某些特征初有感知，然后再根據其特征，應用這些已知條件去尋找解決問題的思路，常可找到解題的捷徑.

分析：此題一時無從下手，仔細觀察條件中自變量的取值特征，聯想到數列求和的“倒序相加法”，便可獲得下述簡捷解法.

三、引導學生觀察命題相應的圖像(圖形)特征——培養學生解題能力

圖像(圖形)是數學學習中不可或缺的重要組成部分，在各種考試中都有和圖像(圖形)有關的一些問題出現，而這類問題卻是教學中的薄弱部分，主要是學生不善于通過直觀的圖像(圖形)來觀察思考問題.所以教師引導學生學會對圖像(圖形)的觀察是學好數學的重要組成部分.

例3 已知函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖像(如圖)，則 .

(A)b∈(-∞,0) (B)b∈(0,1),

(C)b∈(1,2) (D)b∈(2,+∞).

分析：這是一道創新試題，有利于培養學生閱讀圖像獲取信息的能力.教師引導學生對圖1進行觀察，可以獲取各種有價值的信息，形成以下兩種思路：

思路1：由此題的函數圖像可以聯想到高次不等式時所用的圖像法.

∵a>0,x1、x2、x3為圖像與X軸的交點,x1=2,x2=1,x3=0.∴ax3+bx2+cx+d=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a(x-2)(x-1)(x-0),∴f(x)=ax3-3ax2+2ax,∴b=-3a<0.故選(A).

思路2：函數f(x)的圖像過原點，即f(0)=0，得d=0，又因為f(x)的圖像過點(1,0)，得f(1)=a+b+c=0…①,由圖像得f(-1)<0，即-a+b-c<0…②,由①+②得2b<0，∴b<0，故選(A).

四、引導學生觀察題設有無隱含條件——培養學生解題能力

當解決某些問題感到“條件不夠”或“無從下手”時，教師要引導學生特別注意深入觀察是否還有隱含條件沒有挖掘.

例4 下面這道填空題因印刷原因造成橫線上的內容無法認清，現知結論，請在橫線上填寫原題的一個條件.

五、引導學生觀察能否變換代用公式——培養學生解題能力

有些命題的式子，初看似乎不能代用公式，教師引導學生通過變換觀察，發現可以代用公式，從而解決問題.

tan40°.

分析：初看20°和40°都是非特殊角，似乎不能求值.但教師引導學生觀察注意到20°+40°=60°，從而聯想到兩角和正切公式的變形，易得.因此

原式=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+

在解決此題后，讓學生完成下列各題.

六、引導學生觀察命題的整體結構——培養學生解題能力

在例題教學中，有的學生往往只觀察到問題的一個方面而忽視整體，從而無法解決問題.在進行觀察時，教師要引導學生從整體中看部分，從部分中把握整體，才能真正抓住問題的關鍵，從而達到意想不到的效果.

七、引導學生觀察問題的極限情形——培養學生解題能力

數學問題的表現形式是多種多樣的，在有些情況下不利于我們對問題的解決作出判斷，而此時教師引導學生考慮利用與已知問題等價的某種特殊形式來思考分析，這就是一種極限觀察問題的方法.

(A)2<λ≤4 (B)3<λ<4.

(C)2.5<λ≤3.5 (D)3.5≤λ<5.5

分析：若此四面體是正四面體，則λ=4，否則λ<4;若此四面體的高(相對于某一面)無限接近于0時，λ→2，否則λ>2,故選(A).

例8 在正n棱錐中，相鄰兩個側面所成的二面角的取值范圍為( ).

因此在數學教學中，通過不同的觀察，可以得到許多有效的解題途徑.如果在教學中教師能有目的地引導學生觀察分析問題，長此以往，必能提高學生的解題能力和數學素養.