對(duì)一個(gè)征解問題的辨析與思考

安徽省阜陽市第三中學(xué) (236000) 毛曉娜

在文[1]中，給出了一道解析幾何題以及學(xué)生的一種解法，并詢問學(xué)生的解法對(duì)嗎？題目和解法如下：

筆者認(rèn)為學(xué)生的解法是錯(cuò)誤的，并且解法中出現(xiàn)的幾處錯(cuò)誤還非常典型，下面筆者就學(xué)生解法的錯(cuò)誤之處以及導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因談一下自己的思考，與同行們交流.

1.設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)時(shí)可以加限制條件y1>0嗎?

片斷1：為了加強(qiáng)學(xué)生對(duì)雙曲線定義的理解，給出了下面一道試題：

圖1

|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|.

片刻以后，教師請(qǐng)一位同學(xué)回答

學(xué)生1：老師此題是錯(cuò)的，我認(rèn)為|AF2|+|BF2|<|AF1|+|BF1|.

教師：你能給出解釋嗎？

學(xué)生1：在直角坐標(biāo)系內(nèi)作出圖形(如圖1)，通過圖形可以發(fā)現(xiàn)A,B,F1構(gòu)成三角形，利用三角形兩邊之和大于第三邊得到|AF2|+|BF2|<|AF1|+|BF1|.

學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的根本原因在于作圖的隨意性，并沒有將雙曲線漸近線的傾斜角與直線l的傾斜角進(jìn)行大小比較，來判斷A,B兩點(diǎn)是在y軸同側(cè)還是兩側(cè).

片斷2：為了強(qiáng)調(diào)幾何法在處理解析幾何問題中的重要性，給出了下面一道試題：

已知拋物線的方程為x2=4y，焦點(diǎn)為E，直線l過點(diǎn)E與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，使得|AE|=

教師通過巡查發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生采取的是代數(shù)法，也有一部分同學(xué)利用的是幾何法，所以特意選擇一位利用幾何法處理的學(xué)生回答.

圖2

學(xué)生2：如圖2，設(shè)|AE|=m，則|AA1|=m，|BE|=|BB1|=2m,于是|BC|=m，在直角三角形ABC中，利用勾股定理可得|AC|=

學(xué)生2的解法非常簡(jiǎn)潔，充分體現(xiàn)了幾何法在解決解析幾何問題中的作用，但是顯然學(xué)生2漏掉斜率為負(fù)的情況，作為填空題，仍然不得分,在2012年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)全國(guó)卷理科第20題中也是考查了這一點(diǎn).

不妨先看看最值的定義，在人教A版教材中，“函數(shù)的最大值”的定義為(最小值的定義類似):

3.引發(fā)的思考

在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)多個(gè)字母參數(shù)，有的字母是常數(shù)，有的字母是變量，有的字母看似變量，其實(shí)是常數(shù)，由于對(duì)字母參數(shù)理解錯(cuò)誤導(dǎo)致出現(xiàn)爭(zhēng)議或問題處理錯(cuò)誤的情形經(jīng)常出現(xiàn)，下面以兩個(gè)案例加以說明.

案例1 我們都知道，所有偶數(shù)組成的集合可以表示為A={x|x=2n,n∈Z}，其中x為元素，n為參數(shù)，并且n每取一個(gè)整數(shù)得到集合中的一個(gè)元素，所以集合A表示無限集，在北師大版高中數(shù)學(xué)必修1第一章第一節(jié)習(xí)題B組給出下面一道題目：當(dāng)a,b滿足什么條件時(shí)，集合B={x|ax+b=0}分別為有限集、無限集、空集？

案例2 筆者所在學(xué)校高三年級(jí)的一次檢測(cè)試卷中有下面一道試題：

已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x.

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

閱卷后發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生的解法如下：

此解法認(rèn)為字母參數(shù)a和x是兩個(gè)沒有依賴關(guān)系的變量，所以可以先選定a為主元，再令x為主元進(jìn)行處理，那么學(xué)生的解法是否正確呢？

記φ(x)=x2+2x+2-2ex，x∈(0,+∞)，則φ′(x)=2(x+1-ex)，因?yàn)閑x>x+1，所以φ′(x)<0，即φ(x)在x∈(0,+∞)單調(diào)遞減，φ(x)<φ(0)=0，于是g′(x)<0，則g(x)是在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù),且g(x)>0.

通過案例2的分析，給一類常見問題的解法提出了質(zhì)疑，問題如下：

“y=f(x)與y=g(x)的定義域分別為I和D，對(duì)于任意x1∈I，總存在x2∈D，使f(x1)f(x)max，如果函數(shù)y=f(x)與y=g(x)都有最大值，這種解法固然沒有問題，但是還應(yīng)該有以下幾種情況：

(1)如果y=f(x)的值域有上界，y=g(x)的值域無上界，一定滿足要求;

(2)如果y=f(x)的值域無上界，y=g(x)的值域無上界，也滿足要求;

由上面兩個(gè)案例不難發(fā)現(xiàn)，無論是對(duì)題意的理解上，還是問題的解決上，弄清字母參數(shù)的真實(shí)含義是非常重要的，字母之間是相互獨(dú)立還是存在依賴關(guān)系？哪些字母是變量？哪些字母是常數(shù)？這是解決問題之前必須認(rèn)真思考的.

教學(xué)的主體是學(xué)生，明確學(xué)生所需與所惑是提高教學(xué)有效性的基本途徑，學(xué)生的困惑是什么，導(dǎo)致困惑的原因是什么，如何解決困惑是進(jìn)行教學(xué)之前必須解決的三個(gè)問題，在教學(xué)中對(duì)學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生的錯(cuò)誤要做到有的放矢，敢于讓學(xué)生犯錯(cuò)，在犯錯(cuò)中糾錯(cuò)，從而培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，真正意義上的實(shí)現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的高中數(shù)學(xué)課程總目標(biāo).

[1]王申旺.問題243[J].數(shù)學(xué)通訊(下半月)，2016(2)：37.

[2]耿合眾.有限集還是無限集-兼談字母參數(shù)的表達(dá)理解[J].中小學(xué)數(shù)學(xué),2016(1-2):122-123.

[3]歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學(xué)分析(第三版)上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007.