退到基本的方程函數上，跳出困境解難題

貴州省畢節市梁才學校 (551700) 熊福州

多元函數t=G(x,y,z)(F(x,y,z)=0)中，人為定義域F(x,y,z)=0又叫約束條件，求這類函數最值問題，在高考和競賽中比較常見，命題者多伴是從比較難想到的技巧轉化為用均值不等式或柯西不等式解決設計的，解題者按命題者的思路解就中計了，陷入冥思苦想而不得解的困境，若能退到基本的方程函數上，則可跳出困境，解決問題.

例1 (2006年全國高考重慶卷文第12題)若a,b,c>0，且a2+2ab+2ac+4bc=12，則a+b+c的最小值是 .

例2的參考解答很不易想到，為便于比較，先把參考解答過程詳錄于下.

注：例2中，z(x2)是二次函數，z(x2)min和

z(x2)max可直接由二次函數在閉區間上求得，只是配方過程中的運算比較繁，故本文用略顯簡單些的導數法,解題過程為消元將三元函數化為二元函數，再認一元(主元，即自變量)定一元(次元，即參數)求最值，最后求次元(參數)為自變量的函數最值，凡是元不多(不超過3個)，次數不高(不超過3次)的函數求最值，當用已知不等式(如均值不等式，柯西不等式等)不易解決(因為很難想到怎樣變形轉化，即變形技巧很強)時，不妨退到用函數性質(單調性，極限)求函數的值域上，通過基本的換元，消元，認元逐步解決，運算雖然繁一點，但好想，且問題本質暴露無遺(如例2中取最小值的自變量不唯一，是兩組，即x3=1,x2=x1=0，或x3=0,x2=1,x1=0時，zmin=1).

f(b)max=g(c)=