例談小學高段數學中的“利?！迸c“建?！?br/>——以人教版小學數學六年級上冊部分內容為例

四川省廣漢市向陽鎮學校 俞文勤

何為建模，我的理解是：用簡練的、高度概括的數學語言去表達所研究的對象，獲得同類問題的最基本解決方法，從而達到高效快捷解決問題的目的。何為利模，顧名思義，則是運用舊有知識系統中已經建立的數學模型去解決新的實際問題。“利?！迸c“建?！保瑑H一字之差，卻道出了小學數學中關于數學建模的基本思想及教學精髓，建模是為了利模，而有時候利模又是建立新的模型的基本方法甚至是唯一方法，二者相得益彰。小學數學課程標準更是對建立模型的意義提到了很高的地位——模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。

小學各年段教材中，都有一些利于培養數學建模思想的典型例題。到了小學高段尤其是六年級，學生頭腦中已經建立了不少的數學模型，這時候就需要引導學生巧妙地利用數學模型去解決新的問題。而高段數學中的一些規律性的較為復雜的問題，又需要建立新的數學模型。哪些問題必須憑借數學模型來搭建學生的認知平臺？哪些知識又需要建立新的模型，從而讓學生憑借數學模型達到舉一反三的目的？這是執教高段數學需要思考的問題。

一、巧妙利模，順利建模

六年級教材中某一些新知識，必須得利用到之前學到的模型，如工程問題中要用到工作效率×工作時間=工作總量這個基本模型，如分數除法例2的列式依據必須得用到路程÷時間＝速度這一模型。在初步引入一個數乘分數的意義時，利用舊的模型建立新的模型，更是體現得淋漓盡致。具體教學流程如下：

六年級數學上冊第一單元例2：一桶水12升，3桶水有多少升？1/2桶水有多少升？1/4桶水有多少升？此例題主要教學目的是理解一個數乘分數的意義，知道求一個數的幾分之幾可以用一個數乘幾分之幾。在教學實踐中發現，如果在學生理解題意后，讓學生獨立列式，學生的答案只有：（1）12×3＝36（升）；（2）12÷2＝6（升），12÷2×1=6（升）；（3）12÷4＝3（升），12÷4×1=3（升）。幾乎沒有一個學生會用12×1/2，12×1/4，教學一個數乘分數的意義便遇到了瓶頸。此時應該怎樣將學生的思維引向乘法算式？這時候，以往所學的模型就能派上用場了。利用第一小題，不難引導學生回憶出這樣的模型：每桶水的體積×桶數=水的總體積，接著問：“后面兩個小題可否也用這樣的思路呢？”，學生很容易得出12×1/2，12×1/4，此后，再問：“這兩個算式表示什么意義呢？”學生就可以順利說出“表示12升的1/2是多少，表示12升的1/4是多少？”這樣建立的認知印象會很深刻，因為不是由教師直接強加給學生的。最后，教師別忘了立即追問：“那如果求12升的3/4是多少？你可以怎樣列式？遇到其他的求一個數的幾分之幾是多少，可以怎樣列式？”學生便能興奮地發現：一個數×幾分之幾就可以求一個數的幾分之幾。顯然，這又是一種新的建模，這個模型將要貫穿整個一單元“分數乘法”。

二、適時建模，以便利模

小學數學六年級上冊，分數乘法和分數除法占了很大的比重，其中的分數乘除法應用題，更是讓老師們屢教屢頭疼，而五單元百分數應用題又基本上是以分數乘除法問題做基礎的。怎樣讓學生解決此類問題得心應手？這就需要適時建立必要的模型并引導學生巧妙地利用模型。

1.適時建立單位“1”的量×分率＝分率對應量這樣一個基本模型

在教學分數乘法單元，盡管單位“1”的量×分率＝分率對應量這個基本模型已經被普遍應用，但我并沒有急于給出這個模型，我認為這個模型應該是在學生已經能夠熟練地求“一個數的幾分之幾”，熟練找尋單位“1”的量、分率、分率對應量以后，自己總結、發現而得出。所以，在“分數乘法”單元結束即將開始“分數除法”單元教學之前，我特意安排了一組例題進行集中分析：

請找尋單位“1”并寫出數量關系式：

（1）六一班女生數是全班人數的3/7；

（2）今年營業額的3/4等于去年的營業額；

（3）甲數占乙數的10/11。

當學生寫出三道題的關系式以后，我引導：這三個關系式有什么共同特點？

學生就會發現都是用單位“1”的量×分率=分率對應量，而后，我告訴學生：這是一個非常重要的發現，這個關系式必須牢記，所有含分率的關系句都可以寫出這樣的基本關系式。

2.巧妙利用單位“1”的量×分率＝分率對應量，解決分數除法問題

在教學“已知一個數的幾分之幾是多少，求這個數”的問題時，我會在課前復習就搬出單位“1”的量×分率＝分率對應量這個模型，問：如果一道題不知道單位“1”的量，知道分率和分率對應量，你覺得可以怎樣解決？經過短暫思考學生即可知道可以利用這個關系式將單位“1”的量設為x，列方程解決或者用分率對應量÷分率求得單位“1”的量。之后，我會直接出示書上例題，讓學生獨立完成并積極交流，實踐證明這樣教學分數除法應用題高效、省事。

在教學已知“比一個數多（或少）幾分之幾的數是多少，求這個數”的問題時，我除了教學例題中介紹的利用等量關系“一個數+一個數×幾分之幾=已知數”用方程解決，更多的精力則用在了溝通知識之間的聯系，再次充分利用“單位“1”的量×分率=分率對應量”來解決。

例如：小明的體重是35千克，他的體重比爸爸的體重輕8/15，，小明爸爸的體重是多少千克？

引導學生直接思考或者利用線段圖思考得出：小明的體重相當于爸爸體重的1-8/15，然后利用這個發現得出關系式：爸爸的體重×（1-8/15）＝小明的體重，再引導學生想此時爸爸的體重不知道要求，你可以得出幾個方法？學生有了之前的模型，無需老師告知便可得出求單位“1”的量，可以將單位“1”的量設為x，列方程解決或者用分率對應量÷分率。

這之后，我會安排一組對比題，專門讓學生發現“比”字句敘述的題目可以轉化成“是”字句敘述的題目，轉化后，他們同屬于一種類型，這樣溝通聯系后，學生便會覺得這一類問題并不難，只是多了轉化的一步。

六年級上冊教材中需要先建模后利模之處比比皆是：如求一個數是另一個數的幾分之幾，需要建立分率對應量÷單位“1”的量=分率這個模型；甲比乙多幾分之幾，乙比甲少幾分之幾這樣的題目時，則需要通過分析得出“相差數量÷單位“1”的量=相差數量對應的分率”這個模型；在求周長差時，除了常規思路，還可建立直徑差×π=周長差，或者建立半徑差×2π=周長差這樣的模型……當然，幾何教學中的圓周長、圓面積的公式推導及運用，更是最為基本的、典型的先建模而后利模。

在數學模型思想教學中，如果教師善于去總結，善于站在學生的角度去思考問題，就會自覺地引導學生去建模、利模，而不會只是把數學模型硬生生地告訴學生，讓學生也是硬生生地記住和應用，那樣得來的知識終歸是囫圇吞棗，不知個中滋味。