對2017年江蘇高考數列題的多種方法證明以及推廣

江蘇省南京市金陵中學河西分校 李菲菲 姜 寧

題目：對于給定的正整數k,若數列{an}滿足：an－k+ an－k＋1+… +an－1+an＋1+…+an+k－1+an+k＝ 2kan對任意正整數 n （n＞k）總成立，則稱數列{an}是“P （k）數列”。

（1）證明：等差數列{an}是“P （k）數列”；

（2）若數列{an}既是“P （2）數列”，又是“P （3）數列”，證明：{an}是等差數列。

對于第二小問證明：

（2）－ （1） 得：

于是，數列a1，a4，a7，… 是等差數列，設其公差為d1。

數列a2，a5，a8，… 是等差數列，設其公差為d2。

數列a3，a6，a9，… 是等差數列，設其公差為d3。

在 （1） 中取n＝3得：

在 （1） 中取n＝4得：

在 （1） 中取n＝5得：

光學遙感受天氣條件影響極大，其在積雪面積制圖中的主要難點問題之一就在于云雪的識別，NDSI因其實際可操作性強，提取精度高，方法快捷簡單，是雪蓋范圍提取最為普遍采用的方法.此外，利用多個熱紅外波段計算亮溫差也是云雪區分的有效手段.然而，高分四號衛星由于缺少反映積雪弱反射能力的短波紅外波段，也沒有多個熱紅外波段，導致無法有效利用波段間關系和遙感指數方法識別積雪.

將（3）（4）（5）相加，得d2＝d3。

在 （1） 中取n＝6得：

（6）－ （3） 得：

又因為 d2＝d3，故 d1＝d3＝d3。

由（3）得：

由（4）得：

（7） +（8）得：

因此數列{an}是等差數列。

法二：數列{an}既是“P （2）數列”，又是“P （3）數列”，因此，

由（9）得：

將（11） ，（12） 代入（10），得an－1+ an+1＝2an，其中n≥4，

所以數列a3，a4，a5，… 是等差數列，設其公差為d，

在 （9） 中取n＝4得：

在 （9） 中取n＝3得：

因此數列{an}是等差數列。

對于法二的改進：

由（9）得：an－2+ an－1+an＋1+an+2＝ 4an，

將兩式相加，則有：

由（10）可得：

所以an－1+ an＋1＝ 2an，其中 n≥4。

本題考查了新定義下的等差數列，考查了離散數列間隔成等差數列到每項成等差數列，利用遞推方式處理，對學生的構造能力要求極高，對學生思維要求極高。

推廣：對于給定的正整數k,若數列{an}滿足：an－k+ an－k＋1+… +an－1+an＋1+…+an+k－1+an+k＝ 2kan對任意正整數 n （n＞k）總成立，則稱數列{an}是“P （k）數列”。

若數列{an}既是“P （k1）數列”，又是“P （k2）數列”，其中k1≡2（mod 6）,k1≡3（mod 6）,則：{an}是等差數列。

高考試題凝聚了命題專家巨大的智慧和心血，他們立意深遠，內涵豐富。我們從不同視角對高考試題進行求解于改編、加強和推廣，這樣對于領悟高考試題的功能，正確把握高三復習方向，都有著非常重要意義和作用。

[1]范花妹，秦慶雄.從“裂項相消法”證明數列不等式得到的啟示[J].數學通報，2016（8）：44-51.