淺談電磁學中的3種電場

王 歌 張藝馨 馮 杰

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

1 引言

電磁學中的靜電場、穩恒電場和渦旋電場既具有電場的共性又有本質區別.靜電場是由相對于慣性系靜止的電荷在周圍空間激發的電場，由其定義可知，靜電場是由靜止電荷激發的.穩恒電場與恒定電流相伴，它是不隨時間改變的電荷分布產生的不隨時間改變的電場.而渦旋電場是由變化的磁場在其周圍激發的一種電場，并非是由電荷產生的.為了進一步理解這3種容易混淆的電場，下面具體介紹它們的主要內容及相互聯系和區別.

2 電磁學理論中的3種電場

2.1 靜電場

靜電場源于1個定律，通過1個核心，可以演繹出3個定理，這3個定理是微電子學的理論基礎之一.

2.1.1 1個定律：庫侖定律

庫侖定律：1875年英國物理學家庫侖從實驗上總結出兩個點電荷之間相互作用力的規律，后人稱之為庫侖定律，它表明真空中帶電荷量為q1和q2的兩個點電荷之間作用力的大小與它們所帶電荷量q1和q2的乘積成正比，與它們之間的距離r的平方成反比；作用力的方向沿著它們的連線；同號電荷相斥，異號電荷相吸.其數學表達式為

式中q1和q2分別表示兩個點電荷的電荷量，r為兩個點電荷之間的距離，k是比例系數.為了使表達式既能表示力的大小又能表示力的方向，同時為了使今后由它推出的電學公式簡單化，因此,通常令

則

式中k=9.0×109N·m2/C2，ε0為真空的介電常數(或稱為電容率)，這樣庫侖定律的數學表達式可稱為庫侖定律的有理化形式.庫侖定律的表達式寫成矢量式即為

式中r0表示施力電荷指向受力電荷方向的單位矢量.

2.1.2 3個定理：靜電場的環路定理、高斯定理、疊加原理

定理一：靜電場的環路定理——說明靜電場是無旋場和保守場.

如果試驗電荷在電場中經過任一閉合曲線又回到原來的位置，這樣可得出電場力做的功為零，即

q0∮lE·dl=0

因為試驗電荷q0≠0，所以

∮lE·dl=0

這說明，靜電場中場強沿任意閉合環路的線積分(稱作環量)恒等于零，這個結論稱為靜電場的環路定理.

定理二：靜電場的高斯定理——說明靜電場是有源場或散度場.

定理三：靜電場的疊加原理——說明靜電場可線性疊加,有矢量的性質.

點電荷的電場強度

式中r0是由電場源電荷q指向試驗電荷q0的單位矢量.當q>0時，E的方向與r0相同；當q<0時，E的方向與r0相反.

點電荷系q1，q2，q3,…

點電荷系的電場強度為

即點電荷系在某點產生的電場強度等于各個點電荷單獨存在時在該點所產生的電場強度的矢量和，這個結論稱為電場強度的疊加原理.

2.1.3 1個核心：靜電場的強度

2.2 穩恒電場

穩恒電場源于電荷守恒定律，用歐姆定律加以描述，通過2個定理，可以演繹出2個原理，同樣是微電子學的理論基礎之二.

2.2.1 3個定律：電荷守恒定律、歐姆定律、基爾霍夫定律

定律一：電荷守恒定律

大量實驗表明：電荷既不能被創造，也不能被消滅，它們只能從一個物體轉移到另一個物體，或從物體的一部分轉移到另一部分，在任何物理過程中電荷的代數和總是守恒的，這個結論叫電荷守恒定律.它不僅在一切宏觀過程中成立，而且在一切微觀過程中也是成立的，它是物理學中的普適守恒定律之一.

電荷守恒定律的數學表達式：設閉合曲面內的電荷量為q，則有

該式稱為電流連續性方程.對于穩恒電流，由于I的大小和方向都不隨時間發生變化，這樣形成電流的電場就必須是一個穩定場，產生電場的電荷就必須是一個穩定的分布，這樣對于任一閉合曲面S，必有

∮Sj·dS=0

此即為穩恒電流的連續性方程，也叫電流的穩恒條件.它是電荷守恒定律的數學表達式.

定律二：歐姆定律

在通有電流I的導體中，沿電流線方向任取一個小圓柱體，通過的電流為dI，長度為dl，橫截面積為dS，使圓柱體的軸線和它所在處的電場強度E的方向一致，面積dS垂直于E.沿電場方向圓柱體兩端的電勢為U和U+dU，圓柱體電阻為R，電流密度矢量為j.則

而

所以

即

j=γE

稱作歐姆定律的微分形式.它表明導體中任意一點的電流密度與該點的電場強度成正比，且同方向.

定律三：基爾霍夫定律

基爾霍夫第一定律，即節點電流定律

∑Ii=0

其表述為：在任一節點處的電流之和為零，或者說流出節點的電流(一般規定流出為正)等于流入節點的電流(流入為負).

基爾霍夫第二定律，即回路電壓定律

∑ε+∑IR=0

其表述為：對于電路中的任一回路，沿回路繞行方向的各段電壓的代數和等于零.或者說電勢增高之量等于電勢降落之量.

2.2.2 2個原理：電流源原理、電壓源原理

原理一：電流源原理

電流源原理，其實就是把一個受控元件或器件串聯在電流回路中，通過采樣和負反饋電路使這個元件或器件的導通電阻受輸出電流的實時控制，當因負載電阻減小或回路電壓增大而發生回路電流增大的趨勢時，這個元件或器件的導通電阻就增大，當因負載電阻增大或回路電壓減小而發生回路電流減小的趨勢時，這個元件或器件的導通電阻就減小，以維持回路電流的穩定.

原理二：電壓源原理

電壓源原理，其實就是把一個受控元件或器件并聯在電流回路中，采集輸出電壓反饋到控制端，控制端根據反饋的電壓來調節輸出電壓保證輸出電壓穩定.

這兩個原理是微電子學的理論基礎.

2.3 渦旋電場

2.3.1 2個定律：畢奧-薩伐爾定律、法拉第電磁感應定律

定律一：畢奧-薩伐爾定律

電流周圍有磁場，穩恒電流的磁場是穩恒磁場.如圖1所示，任意形狀的導線L,通有電流I，在該導線上任意選取一線元dl,在該導線上任意電流元Idl,產生的磁場的磁感應強度為dB.畢奧-薩伐爾定律的數學表達式為

圖1 電流元及其產生的磁場

定律二：法拉第電磁感應定律

不論任何原因使通過回路面積的磁通量發生變化時，回路中產生的感應電動勢與磁通量對時間的變化率成正比，這就是法拉第電磁感應定律，其表達式為

式中負號表明感應電動勢的方向和磁通量變化率之間的關系，是楞次定律的數學表示.

2.3.2 2個假說

假說1：變化的磁場可以產生變化的電場.

假說2：為了使安培環路定理成立，必須假定變化的(渦旋)電場與一定的磁場相聯系,即變化的電場可以產生變化的磁場.

3 3種電場的比較

3.1 共性

(1)它們都是電場，是物質的一種客觀存在形式，都儲存著能量；

(2)它們對處于其中的電荷都有電場力的作用；

(3)在這3種電場中移動電荷時相應的電場力一般都要做功.

3.2 個性

靜電場的場源電荷是靜止電荷,穩恒電場的場源電荷是空間分布不隨時間變化的電荷, 它們都屬于有源場,電場線始于正電荷而止于負電荷,在無電荷處不中斷,是不閉合的.對于外電路中的穩恒電場,其電場線從電源正極指向負極,同時根據歐姆定律的微分方程可知,電場線和電流線相平行, 簡單說來,可理解為沿均勻導線的軸線方向,雖然有分析認為導體內電場存在徑向分量,但其值較小,通常可忽略.渦旋電場由變化的磁場激發,沒有場源電荷,屬于無源場,它的電場線應是沒有起點和終點的曲線,是閉合的.這是渦旋電場性質和前兩種電場性質的區別之一.

靜電場要對放入其中的電荷施加靜電場力,靜電場力是保守力,根據保守力的特點,電荷沿閉合路徑移動一周時靜電場力的功恒為零.可見,靜電場是勢場或稱為無旋場.由恒定條件可知,在穩恒電流場中選定任一閉合曲面S,該曲面內各點的電荷密度都不隨時間變化,這和靜止電荷在閉合曲面S內按同樣電荷分布時產生的電場情況是相同的.因此,穩恒電場和靜電場具有相同的性質,穩恒電場也是勢場,基爾霍夫第二方程正是由穩恒電場的環路定理推導出來的.感生電場力對沿閉合電路移動一周的單位電荷做功等于感生電動勢,由法拉第定律可知感生電場沿任意閉合曲線的環流不可能都為零,否則不會在實驗上發現感生電動勢存在的事實.可以看出感生電場不是勢場,而是渦旋場.這是渦旋電場性質和前兩種電場性質的另一區別.

4 結束語

通過對電磁學中的3種電場,靜電場、穩恒電場和渦旋電場的核心及其規律的歸納、對比和總結,分析了它們的共性和個性，不僅強化了我們對3種電場的認識和應用，而且擴大了3種電場與其他相關物理知識的聯系，同時也鍛煉了學生的物理思維能力，無論是對中學物理的教與學或是對大學生電磁學的學習，都有事半功倍的學習效果.

1 馮杰. 大學物理專題研究. 北京:北京大學出版社，2011

2 張三慧.大學物理學. 北京: 清華大學出版社，2000

3 溫耐，王偉鋒. 類比法在電磁學教學中的運用. 物理通報， 2013(6):11～12

4 尹彩流. 大學物理電磁學教學中類比法的應用. 廣西民族大學學報(自然科學版)，2011，17(2):98～100