三圓環型達曼光柵衍射與缺級

劉志偉 范 軼

(電子科技大學英才實驗學院 四川 成都 611731)

王瑩媛

(電子科技大學電子工程學院 四川 成都 611731)

吳明和 鄔劭軼 滕保華

(電子科技大學物理電子學院 四川 成都 611731)

1 引言

光柵作為重要的分光元件和光譜儀器的核心元件，在計量學、天文學、集成光學、光通信、原子能等方面具有廣泛的應用.達曼光柵就是一種利用空間坐標調制的位相光柵，通過特殊的孔徑函數的衍射光柵產生一維或者二維的均勻光束，從而實現等強度的陣列光束[1].通常可以用機械刻劃的方法制作圓環型的達曼光柵，來實現對稱的等強度光強分布的圓環型衍射場[2]，從而在圖像編碼、全息照相以及X光層析成像等領域，起著不可或缺的重要作用.但是與直縫光柵相比，圓環型光柵的制作難度很大，因此圓環型達曼光柵遠沒有像直縫光柵那樣得到深入的研究[3～6].

本文首先介紹圓環型達曼光柵的基本性質，然后設計一種三圓環型達曼光柵，并解析推導該圓環型達曼光柵的光強分布，從而根據相關參數分析產生缺級現象的條件.

2 圓環型達曼光柵的基本性質

通常圓環型達曼光柵根據下列4個參數進行設計[5]：

(1)圓環型達曼光柵的階，即衍射面上等強度的衍射光環的環數.

(2)圓環型達曼光柵的環數，即光柵相位和(或)幅度改變的環數.

(3)圓環型達曼光柵的衍射效率，即

其中Ii是均勻環形衍射場第i環的光強峰值，Itotal為所有衍射光強的總和.

(4)圓環型達曼光柵的均勻度，即

其中Iav為平均光強，定義為

可以看出，對圓環型達曼光柵比較重要的兩個參數是圓環型達曼光柵的階與環數，因為它們是決定在衍射面上產生若干等強度衍射光環的關鍵參數.實際上，圓環型達曼光柵可以產生若干等強度的衍射光環，就是設計光柵的階與環數導致光強重新分布的結果.與此同時，圓環型達曼光柵對光強重新分布的另一個結果就是可能產生明顯的缺級現象.缺級現象同樣是光學研究領域中的一個重要現象，比如圓環型達曼光柵在光學圖像編碼上的重要應用[3]，就是利用了其中的缺級現象.

3 三圓環型達曼光柵的設計及光強公式

為了方便起見，本文將圓環型達曼光柵的環數限定為三環，通過調整參數即可在不同的衍射環處產生缺級現象.設達曼光柵每個環的寬度d全部相同，但中間圓環的位置可變，即可從靠近最外面圓環向內移動，不透光為2個環，透光為3個環.按照歸一化計算，最大外圍半徑為1.由于每個環的寬度已經確定，現只需確定外圍不透光的環的寬度即可以確定該三圓環光柵，設其為γ.三圓環達曼光柵的平面示意圖如圖1(a)所示，入射面光強度隨半徑變化的一維圖如圖1(b)所示，特定參數下的衍射圖案如圖1(c)所示，可以看出存在明顯的缺級現象.

圖1 三環達曼光柵

對于圓環光柵，其衍射場的振幅公式為[5]

(1)

這里J1(p)為一階貝塞爾函數，p為衍射場面上歸一化半徑，即

表示在透明介質上形成的多個同心環帶的位相分布,而ρ為衍射面上實際半徑，f為透鏡的焦距，R則是圓環達曼光柵的外半徑，λ為波長.φ0是環帶的二值位相，取0，π.{rj}是圓環達曼光柵歸一化的半徑參數，并且r0=0，rN=1.通常通過改變{rj}，以產生需要的衍射場.

于是可以得到本文設計的三圓環型達曼光柵的遠場衍射場振幅公式

(2)

考慮到r1=d，r2=1-2d-γ，r3=1-d-γ，r4=1-d，最終獲得三圓環型達曼光柵的遠場衍射場的振幅和光強為

U(p,d,γ) =

(3)

I=U2(p,d,γ)

(4)

4 各參數對三圓環型達曼光柵衍射的影響及缺級

根據式(4)可以直接計算參數(γ，d)對衍射光強度的影響.在分析圓環型達曼光柵時，以前的工作中多是給出了數值解[2]，但是本文給出的式(4)是一個解析表達式，將使對衍射光強的分析更加方便和具體.

圖2給出了歸一化條件下不同γ與d值的光強分布.

圖2 半徑方向上的衍射光強度隨γ與d的變化情況

通過分析圖像可看出，隨著γ的增大，光能量逐漸向外分布，即通過控制γ的大小，可使光強分布達到所需要的衍射場分布；隨著縫寬d的增大，能量集中到零級，衍射效果逐漸減弱；若縫寬d增大但同時γ減小，則逐漸近似為一個圓孔衍射，即此時主要能量將集中在零級，這與圓孔衍射的結論是相同的.

由于衍射光強分布隨著d與γ的變化而改變，所以對適當的參數(γ，d)，可以出現在光強分布中的缺級現象.比如圖3(a)是控制d不變，通過改變γ得到的光強分布圖.可以看出當γ為0.18時，第3級是一條亮環，而當γ變為0.12時，則在第3級為明顯的缺級.而圖3(b)為控制γ不變，通過改變縫寬d得到的光強分布圖.可以看出，當d從0.03變化至0.2時，第3級衍射圖案從亮環變化至缺級再變化為亮環，即在d= 0.14時第3級出現明顯的缺級.

圖3 參數γ與d變化時，顯示缺級現象的衍射光強度圖

5 結論

本文設計了一種三圓環型達曼光柵，得出了該三圓環型達曼光柵的衍射場公式，從而探究了三圓環型達曼光柵的衍射場強隨參數變化而重新分布的情況，并分析了其中的缺級現象.本文的解析公式和數值計算表明，圓環達曼光柵不僅可以使衍射光強重新分布，而且能在某些位置產生明顯的缺級衍射現象，從而使學生對波動光學中光柵及光柵衍射有了更深入的認識.

1 J. Turunen and F. Wyrowski, eds.. Diffractive Optics for Industrial and Commercial Applications. Berlin: Akademia-Verlag, 1997:165～185

2 Zhou Changhe,JiaJia,Liu Liren. Circular Dammann grating. Optics Letters,2003:2174～2176

3 KBDoh，K Dobson，TC Poon，PS Chung. Optical image coding with a circular Dammann grating.Applied Optics, 2009, 48(1):134

4 趙帥,鐘寶漩.圓環達曼光柵.激光與光電子學進展. 2007, 44(2):24～24

5 賈佳,周常河,劉立人.圓環形達曼光柵. 激光與光電子學進展, 2003, 40(12):41～45

6 楊沁玉，丁可，陸愛江，等. 大學物理中關于光的干涉、衍射及光柵教學問題的討論. 物理通報,2010(8):10～12