新視角教學RC電路暫態過程
——電路模型等效變換的角度

丘來金 趙 強

(華東師范大學物理與材料科學學院 上海 200241)

RC電路暫態過程是物理類和電氣電子工程類課程的基礎內容.雖然常見的教材中的分析過程不算非常復雜，然而，在物理模型的構建和物理含義的展現方面，對部分學生來說，仍然存在較大難度，特別是對于大學低年級的學生來說，在學習這部分內容時，容易傾向于通過機械記憶結論來應對考試，阻礙了高層次教學目標的實現.鑒于此，本文將針對教學現狀，探討一種可行的教學改進方略.

現代認知心理學研究的結論表明，在教學過程中，基于學生熟悉的、簡單的和直觀的現象來構建富有意義的問題分析模型，可以更好地引導學生激活和提取已有記憶，進行富有意義和效果的編碼過程，最終實現深層次的記憶重構[1～3].這樣，不但有利于快速掌握學習任務，構建穩固的基礎知識記憶單元，也有利于在新的任務中快速激活先驗圖式以及實現相關記憶的擴散式激活，從而較好地實現遷移效果[3,4].

簡單的常系數衰減過程對學生來說比較熟悉，是普通物理和高等數學中的基礎典型案例.因此，本文首先從簡單常系數衰減過程的視角對RC電路暫態過程的簡單情形——零輸入響應進行分析，然后通過對電容元件的電路模型進行重構變換，對RC電路的全響應進行探討，直觀地展現出該過程的物理內涵，由此實現對教學效果的改善.

1 對RC電路暫態過程的分析

教學RC電路的暫態過程時，常見的典型電路如圖1所示.在t=0時刻之前，開關S處于位置1，并且電路已處于穩態.當t=0時，S切換到位置2.

圖1 (全響應)RC電路

電路的暫態過程將是由式(1)所描述的全響應，其中，uC的初態(t=0)為E1，終態(t=∞)為E2.

(1)

雖然全響應具有通用性，但是為了分析的方便，先探討E2=0時的特殊情形.

1.1 E2=0時的零輸入響應

E2=0時，電路的暫態過程變為圖2所示的零輸入響應.由式(1)得到

(2)

圖2 (零輸入響應)RC電路

(3)

結果表明RC電路的零輸入響應就是電容器初始電壓的常系數衰減過程，也就是電容器C中儲存的電荷量Q=CuC的一階常系數衰減過程.

1.2 通過電路模型變換分析全響應

若將電路中的電容器C的電路模型按圖3進行等效變換，也就是，將電容器C看作一個電容器C′和一個恒壓源E3的串聯組合，則有C′=C和uCe=uC-E3.

圖3 電容器的電路模型等效變換

若E3=E2，圖1所示的電路將變成圖4所示的情形(在t=0時刻，開關S閉合).由uCe=uC-E2，得uCe|t=∞=0，那么，對uCe而言，該暫態過程是一個與圖2相同的零輸入響應.因此

(4)

其中ΔE=E1-E2.得出

(5)

圖4 模型變換后的RC電路

由上面的分析過程，可以看出，RC電路的全響應是發生在初態與終態間的一個衰減過程.反映的是初態與終態間電容器兩端的電壓(或電荷量)差值的衰減過程.

此外，式(5)又可以寫為

(6)

可知，全響應可以看作是零狀態響應與零輸入響應的疊加.對這一結論，在常見的教材中只是簡單地解釋成因為電容器可以看作一種電源，所以電路符合疊加原理，就可以看作是零狀態響應與零輸入響應的疊加，然而，在深究時，這一解釋又會顯得乏力.此外，有些教材通過直接求解式(1)來得出式(6)的結論，并描述為一個自由分量和控制分量的組合.導致很多學生直接記結論，然而，因為缺乏對物理含義的直觀詮釋，學生在運用該結論解決問題時，難免會有生搬硬套的情形.為此，下面將再次借助電路模型等效變換的途徑，來對此加以探討.

在對電容器部分的電路模型使用圖3所示的等效變換時，若令E3=E1，圖1所示的電路將變成圖5所示(在t=0時刻，開關S閉合).

此時，uCe=uC-E3=uC-E1，可知uCe|t=0=0.

圖5 模型變換后的全響應RC電路

根據疊加原理，電路的狀態可以看作是圖6所示的兩個恒壓源單獨作用時的疊加.那么

uCe=uCe1+uCe2

(7)

那么，根據圖3給出的電路模型變換關系和條件E3=E1，則uC滿足

(8)

因此，在分析RC電路的全響應時，不是將電容器簡單地看作一種電源，而是將電容器初態(儲存有能量)時的穩定狀態作為參考狀態，而此參考狀態可以描述為一個恒壓源(電動勢與電容器的初始儲存能量相對應).

當E3恒壓源單獨作用時，對uCe1來說，是電源電壓為-E1的零狀態響應，故有

(9)

則

(10)

圖6 兩恒壓源單獨作用時的等效電路

其實，根據圖3給出的電路模型變換關系可知該電路所示的過程，對uC來講就是初始狀態為uC|t=0=E1的零輸入響應，可以直接得出式(10)的結果.

當恒壓源E2單獨作用時，對uCe2來說，是電源為E2的零狀態響應，故有

(11)

則

(12)

可知，該電路所示的過程，對uC來講，就是電源電壓為E2的零狀態響應.

至此，由式(8)、(10)和(12)可得

從而得出“全響應=零狀態響應+零輸入響應”的結論.

2 總結

從上面的分析可以看出，基于學生熟悉的基礎知識和技能，通過電路模型等效重構變換的途徑，能夠直觀地展現出RC電路暫態過程的物理實質.在加深對電路模型的掌握的同時，能夠較好地幫助學生掌握物理內涵和物理模型構建策略，有效地激活已有的知識記憶，并且建立意義明確的關聯，從而實現改善教學效果的目的.

1 Kinjo, H., & Snodgrass, J. G., Does the generation effect occur for pictures.American Journal of Psychology, 2000, 113: 95～121

2 Radvansky, G. A. , Situation models, propositions, and the fan effect.Psychonomic Bulletin &Review, 2005, 12:478～483

3 Anita Woolfolk.Educational Psychology(10thEdition). Pearson Education, Inc. 2007.292～301

4 Richey J. E., Nokes-Malach T. J..Comparing four instructional techniques for prompting robust knowledge.Educational Psychology Review, 2015,27: 181～218