工科復變函數教學法探討

杜春文

摘 要：工科復變函數是工科高等院校開設的一門比較重要的基礎理論課程。復變函數課程對于學生的專業課程學習影響重大。工科復變函數課程課時較少，理論性較強，比較抽象難懂。如何幫助學生學好工科復變函數，課程進行中適當有效的教學方法是必要的。本文主要探討了工科復變函數教學過程中的遷移教學，可視化教學，探究式教學以及“互聯網+”教學。這些教學方法的運用，不僅能有效提高教學質量，活躍課堂氣氛，增加師生間的互動，還可以提高學生的學習興趣和自主學習的能力。

關鍵詞：遷移 可視化 探究 互聯網+

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）07（a）-0156-02

Abstract： Complex variable function is an important basic theory course in engineering colleges and universities. The course of complex variable function has a great inf luence on students' professional course study. The course of complex variable function in engineering is less time， more theoretical and more abstract. How to help students learn the complex function of engineering is necessary. This paper mainly discusses the teaching of migration， visual teaching， inquiry teaching and "Internet+" teaching in the course of engineering complex variable function teaching. The application of these teaching methods can not only effectively improve the teaching quality， enliven the classroom atmosphere and increase the interaction between teachers and students， but also can be mentioned. High students' interest in learning and the ability to learn independently.

Key Words：Migration； Visualization；Inquiryteaching；“Internetf”teachms.

工科復變函數是工科大學數學基礎課程中非常重要的一門課程。它是高等數學的后續課程。復變函數與工程力學、電子技術、自動控制等課程聯系緊密，又是解決流體動力學、電磁學、熱學、振動學、彈性理論、頻譜分析等的一種強有力的工具。對于工科學生而言，復變函數對于更深層次的學習和研究至關重要。如何幫助學生學懂學好工科復變函數理論，教師采用何種教學方法就顯的尤為重要了。下面就教學過程中有效的教學方法進行深入細致的探討。

1 遷移教學

所謂遷移是指一種學習對另一種學習的影響[2]，或習得的經驗對完成其他活動的影響。遷移可分為正遷移，負遷移和零遷移。正遷移是一種學習對另一種學習起到積極的促進作用；負遷移是指兩種學習之間相互干擾阻礙；零遷移是指兩種學習不存在直接的相互影響。

由于工科復變函數是高等數學課程的后續課程，其很多內容都和高等數學的內容相近或者相似。在講授過程中可以采用類比和轉化思想，促進學生正遷移的發生。例如（1）對于復變函數的定義，極限，連續，我們把它轉化為兩個二元實函數μ（χ，γ）和ν（χ，γ），通過研究μ（χ，γ）和ν（χ，γ）的定義，極限和連續實現的。（2）復數項級數的斂散性轉化為實數項級數和斂散性。（3）復積分可以轉化為兩個二元實變函數的線積分來計算。

復變函數知識可與高等數學的知識進行類比學習，比如復變函數的導數，微分和積分，冪級數，泰勒級數等，這些知識都是實數理論向復數理論的推廣，形式上相同或者類似。類比學習有益于知識的理解。通過比較學習，可以理解復變函數的獨特理論，比如指數函數exp z是周期函數，對數函數Lanz中的變量z可以小于零，冪級數中的洛朗級數，孤立奇點，以及高等數學中的一些積分很難計算出來的時候可以用復變函數留數的方法很快計算出來等。

2 可視化教學

可視化是利用計算機圖形學和圖像處理技術，將數據轉化成圖形或圖像在屏幕上顯示出來，再進行交互處理的理論，方法和技術。可視化涉及計算機圖形學，圖像處理，計算機視覺，計算機輔助設計等多個領域。復變函數理論比較抽象，不是很好理解。如果我們在教學過程中能夠把抽象的理論用圖形或者圖像表示出來，這樣便于知識的理解和記憶。這種方法稱為復變函數的可視化。現代教育技術的發展和數學軟件的應用推進著這種教學方式[5]。教學過程中將教學內容和直觀演示結合起來，使用計算機編程和繪圖技術，使得復變函數課程更具有吸引力。復變函數的可視化不僅可以用于教學，還可以推動數學實驗的發展，有利于復變函數的實踐應用。因此復變函數的可視化教學值得我們研究。

在復變函數的教學過程中可視化有利于復變函數知識的講解。（1）對于復數的乘法，或者除法運算，用幾何圖形表示出來就是對于向量的旋轉伸縮。（2）對于∞點的講解，比較抽象難懂。通常情況是引入復球面，使復球面與復平面相切，切點記為Ο點，過切點Ο和球心做垂直于復平面的垂線，交球面另一點為Ν。復平面上的點和復球面上的Ν點連接，可得復球面上的交點與復平面上的點一一對應。復球面上的Ν點就對應復平面上的∞點。復平面上的點趨于∞點，復球面上的點就會趨于Ν點。這一過程可以用動畫的形式表示出來，既形象生動，又便于理解∞點。

3 探究式教學

探究式教學是指在教學過程中，要求學生在教師的指導下，通過以“自主，探究，合作”為特征的學習方式對當前 教學內容中的主要知識點進行自主學習、深入探究并進行 小組合作交流，從而較好的達到課程標準中關于認知目標 與情感目標要求的一種教學模式。

對于復積分的講授過程中從出發，如果將被積函數的分子變成函數f（z），可以猜想出柯西積 分公式和高階導數公式。然后引導學生進行公式的條件討論和證明，最后通過例 題加深對公式的理解。整個過程都是問題驅使進行。

對于一些可以使用柯西積分公式和高階導數公式的復積分也可以考慮使用留數定理來計算，強調一題多解的方法，培養學生的發散性思維。探究式教學可以充分調動學生主動學習的積極性，又可以培養學生的創新思維。整個學習既充滿樂趣，又充滿挑戰。

4 “互聯網+”教學

教育部“十三五”規劃中多次提及高等教育的信息化和互聯網化。互聯網已經進入平常的教學過程中，從最初的多媒體教學，到后來的精品課程和視頻課程，再到現在流行的“翻轉課堂”。很多教師制作了精美的課程課件，MOOC課和微課。教師可以在課前使用網絡教學平臺或 者手機APP上傳學習資料、教學大綱、教學重難點問題和教學安排，課程進行中以任務為導向，通過匯報，解答，點評，討論等方式多層次多方面合作教學，課外也可以通過網絡平臺指導學生的課外自學，快速答疑。學生可以通過互聯網或者移動網絡隨時隨地學習，這種學習具備自主性，互動性，體驗性和創新性。這種教學模式具備遠程教育的優點，實現了教育資源的共享，延續了學習時長，拓展了學習空間，突出學習的靈活性，學生學習自由度比較大。這種教學模式突出技術對“互聯網+”教學的支撐，比如微課的制作，互聯網或者手機APP平臺的構筑等等都需要花費教師大量心血。將網絡平臺融入教學體系中是為了滿足學生學習的個性化和多樣化要求，創新教學方法，提高教學效果，培養學生自主學習能力。“互聯網+”教學需要計算機、手機、多媒體等硬件設施，還需要QQ、微信、微博和網站等網絡平臺的輔助[4]。目前，這種教學模式正隨著信息技術的革新在探索和快速發展過程中。

總之，目前工科復變函數教學改革方向由“教學生學會”向“教學生會學”轉變。文章中所提到的遷移教學有利于從高等數學知識轉換到復變函數知識的學習；可視化教學有利于復變函數抽象理論的講解和實驗；探究式教學有利于培養學生創新思維和用于探索真理的能力；“互聯網+”教學有利于學生獨立自主學習。合理使用以上四種教學方法，不僅可以提高教學質量，還可以提高學生的學習興趣，增進師生情感。

參考文獻

[1] 西安交通大學高等數學教研室.工程數學-復變函數[M].4版.北京：高等教育出版社，2005.

[2] 熊春連，陳翠玲，段華貴.工科復變函數中的遷移教學[J].大學數學，2010，26（2）：203-206.

[3] 劉顯全.復變函數教學法探討[J].大學數學，2012，28（2）：155-158.

[4] 張會新，王益鋒.“互聯網+”時代高等教育3.0教學模式探索[J].教育教學論壇，2018（25）：159-160.

[5] 朱健民，李穎.復變函數的可視化問題[J].大學數學，2011，27（1）：175-178.