讓“附加值”成為智慧的增長點

葉杰平

【摘要】 本文探究了軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)的特點，而且還有“意外的收獲”——發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角度與圖形對稱軸條數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。

【關(guān)鍵詞】 探究 軸對稱 公式特點

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）11-196-01

人教版五年級數(shù)學(xué)下冊第10頁的第6題，原題為：長方形的兩條對稱軸相交于點O，繞點O旋轉(zhuǎn)長方形。

你發(fā)現(xiàn)它轉(zhuǎn)過多少度后與原來的圖形重合？

按上面的方法試一試，你會發(fā)現(xiàn)下面的圖形有什么特點。

此題研究的是特殊圖形——軸對稱圖形的旋轉(zhuǎn)。與前面學(xué)過的旋轉(zhuǎn)相比，其旋轉(zhuǎn)方式和結(jié)果都明顯不同，有更大的“開發(fā)價值”。于是便有了如下的教學(xué)嘗試：

一、操作實驗，發(fā)現(xiàn)圖形特點

教學(xué)前布置學(xué)生準備幾套圖形卡片，每套一張底卡（印有這些圖形的硬紙卡）和一張能與之重合的圖形。

（一）研究長方形

師：同學(xué)們，我們一起研究一些特殊圖形的旋轉(zhuǎn)（出示長方形、正三角形、正方形、正六邊形、圓），為什么說這些圖形是特殊圖形呢？

生：它們是軸對稱圖形。

師：對，今天我們研究的就是軸對稱圖形的旋轉(zhuǎn)。這是一個長方形，以這個長方形的對稱軸的交點為中心，旋轉(zhuǎn)多少度后與原來的長方形重合？（學(xué)生猜想）

師：請同學(xué)們拿出長方形紙片，先畫出它的對稱軸，對稱軸的交點就是這個長方形的中心。再用大頭針穿過這個長方形和底卡長方形的中心，拿起來試著旋轉(zhuǎn)一下，看看你們剛才的猜想對不對？（學(xué)生動手操作）

師：都是旋轉(zhuǎn)90度，旋轉(zhuǎn)方向是怎樣的？

生：順時針或逆時針旋轉(zhuǎn)90度都可以與原來的長方形重合。

師：可見與旋轉(zhuǎn)方向沒有關(guān)系，旋轉(zhuǎn)時為什么要用兩個長方形？

生：為了清楚看到長方形到底旋轉(zhuǎn)多少度與原來的長方形重合，為了更好地進行對比。

師：對，旋轉(zhuǎn)時要有一個參照物，才能清楚看到旋轉(zhuǎn)的過程和結(jié)果。

（二）類推研究其它圖形

師：請同學(xué)們畫出正六邊形、正三角形、圓和正方形的對稱軸，然后用同樣的方法，看看它們分別旋轉(zhuǎn)多少度就能與原來的圖形重合？

學(xué)生交流后，板書：

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：繞它們中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，還與原來的圖形重合。

師：我們得到一個結(jié)論：軸對稱圖形繞它們中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后，還與原來的圖形重合。

二、探究提升，揭示一般規(guī)律

（一）探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律

師：同是軸對稱圖形，它們繞中心旋轉(zhuǎn)到與原來的圖形重合，為什么旋轉(zhuǎn)角度或大或小，到底是什么在影響或決定這個轉(zhuǎn)動角度呢？

生：是邊數(shù)，邊數(shù)越多，角度越小。

生：不對，長方形4條邊，正三角形3條邊，怎么長方形要旋轉(zhuǎn)180度，而正三角形卻只需旋轉(zhuǎn)120度呢？

生：是圖形對稱軸的條數(shù)！你看長方形有2條對稱軸，正三角形有3條對稱軸，正方形有4條對稱軸，正六邊形有6條對稱軸。

（師在相應(yīng)圖形下寫出各圖對稱軸的條數(shù)）

師：把你們的發(fā)現(xiàn)用自己的話說一說？

生：圖形的對稱軸的條數(shù)越多，旋轉(zhuǎn)角度越小。反過來，圖形對稱軸的條數(shù)越少，旋轉(zhuǎn)角度越大。（板書完整表格以下）

師：請同學(xué)們認真觀察上面的表格，對稱軸的條數(shù)與圖形旋轉(zhuǎn)的角度之間有怎樣的關(guān)系？

生：對稱軸的條數(shù)×旋轉(zhuǎn)度數(shù)=360（板書）

師：通過觀察圖形對稱軸的條數(shù)和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了圖形中對稱軸的條數(shù)與旋轉(zhuǎn)角度的積等于360度。這個關(guān)系式有什么作用？

生：不用旋轉(zhuǎn)，直接用360除以對稱軸條數(shù)算出一個軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)多少度就能與原來的圖形重合。

（二）揭示規(guī)律本質(zhì)

師：為什么圖形旋轉(zhuǎn)的角度會與它對稱軸的條數(shù)有關(guān)聯(lián)，你明白這其中的道理嗎？（引導(dǎo)學(xué)生操作、觀察、思考：原來以圖形的中心旋轉(zhuǎn)到重合實際上就是一條對稱軸旋轉(zhuǎn)到另一條對稱軸的位置，其間夾角的度數(shù)就是要旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，圖形有幾條對稱軸就有幾個夾角。所以，360除以對稱軸數(shù)量等于旋轉(zhuǎn)角度）

師：是不是只有旋轉(zhuǎn)這個角度才可以與原來的圖形重合？

（引導(dǎo)學(xué)生得出：圖形旋轉(zhuǎn)一周有幾次重合的機會，這里“一定的角度”是至少要旋轉(zhuǎn)的角度）

三、應(yīng)用規(guī)律，研究特例

師：前面我們研究的軸對稱圖形對稱軸的條數(shù)都是兩條或兩條以上，有沒有圖形只有一條對稱軸的？這樣的圖形旋轉(zhuǎn)，情形又會怎樣呢？

生：比如等腰三角形，它只有一條對稱軸，旋轉(zhuǎn)360度就能與原來的等腰三角形重合，也是符合這個規(guī)律的，只是等腰三角形沒有旋轉(zhuǎn)——

師：因為只有一條對稱軸，所以沒有中心，以對稱軸上任意一點為中心旋轉(zhuǎn)都可以，當然以對稱軸在圖中線段的中點為中心更省事一些。

師：圓的旋轉(zhuǎn)也符合這個規(guī)律嗎？

引導(dǎo)學(xué)生得出：1.圓有無數(shù)條對稱軸，360除以一個無限大的數(shù)，結(jié)果接近于0，旋轉(zhuǎn)時稍微動一下，總能與原來的圓重合。2.因為圓有無數(shù)條對稱軸，相鄰兩條對稱軸之間夾角很小，小到接近于0，隨便動一下，這兩條對稱軸也會重合。所以，圓旋轉(zhuǎn)任意角度都與原來的圓重合。

探究至此，我們不僅發(fā)現(xiàn)了軸對稱圖形旋轉(zhuǎn)的特點，而且還有“意外的收獲”——發(fā)現(xiàn)了旋轉(zhuǎn)角度與圖形對稱軸條數(shù)之間的本質(zhì)聯(lián)系。在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)、概括這個公式的過程中，學(xué)生所經(jīng)歷的從現(xiàn)象到本質(zhì)，從定性思考到定量分析，從特殊到一般，從一般到特殊的思維體驗和歷練似乎更有意義。特別地，在探索過程中，對應(yīng)、函數(shù)（反比例）、極限等數(shù)學(xué)思想的滲透對學(xué)生產(chǎn)生的深遠影響，尤其彌足珍貴！更能讓這個“附加值”成為智慧的增長點。