極限的若干求解方法

謝勇

【摘要】 極限是研究高等數學的重要工具，正確的掌握極限的運算方法，是研究數學分析及其他相關學科的基礎。本文結合自己與同行的學習經驗，總結出了運用五則運算、變量替換、兩邊夾法則、兩個重要極限、LHospital法則、Stolz公式、Taylor公式、Heine定理及Lagrange中值定理等極限求解方法。

【關鍵詞】 極限 解法 五則運算 洛必達法則 泰勒公式

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）11-222-02

1. 課題背景

數列和函數的極限在數學分析中所占的地位是眾所周知的，通過極限定義了函數的連續、可導及定積分等等。同時它也是考研數學分析中每次必考的一個考點。許多考研復習參考資料中都花大量的篇幅去探討、列舉極限的求解方法，復雜冗贅，沒有條理，學生學習起來很吃力，也很難掌握。

2 . 極限求解的方法

2.1利用五則運算求極限

極限的五則運算是極限求解的最基本方法，很多極限求解的題目都是通過極限的五則運算來求解的。我們通常的四則運算包括加、減、乘、除，而五則運算還包括冪指運算。

2.3 兩邊夾法則及推廣形式

當極限很復雜或不能直接將其求解出來，可以考慮先求極限的變量，然后做適當的放大和縮小，使放大和縮小所得到的新的變量易于求解，且二者的極限值相同，那么原極限存在且等于這兩個極限的極限值，這就是極限求解的兩邊夾法則。

注 在運用兩邊夾法則求極限是極限求解的十分重要的方法且應用廣泛，但是值得注意的是在放大和縮小時不能放大得過大和縮小得過小，必須使放大后的極限值和縮小后的極限值相等；若放大和縮小所得的極限值不相等，但二者只相差一個任意小的常數，則兩邊夾法則任然有效。

2.4 兩個重要極限

2.5 LHospital（洛必達）法則

2.6 Stolz公式

2.7 利用Taylor公式求極限

在極限求解中，我們也常遇到未定式極限的求解，對于這樣的極限求解問題，我們常用的方法是等價無窮小代換和洛必達法則，但等價無窮小代換只能用在乘除運算中。另外，洛必達法則如遇到階數較高的無窮小量必須進行多次洛必達法則，過程比較繁瑣，這時用泰勒公式會比較簡單。

2.8 Heine（海涅）定理

眾所周知，海涅定理是溝通數列和函數的“橋梁”，通過海涅定理，數列極限和函數極限可以相互轉換，函數極限的所有性質都可以通過海涅定理用數列極限加以證明，根據海涅定理的必要條件還可以判斷函數極限是否存在。

2.9利用周期性

2.10 定積分法

2.11 利用Lagrange中值定理

3 . 總結與展望

總結了極限求解的幾種方法。因為極限求解是一個很基礎的也是非常重要的一部分，在學習這部分的時候我們沒有進行系統性的歸納總結，所以在這里我根據自己在大學學習期間學到的極限求解的相關知識給出了幾種我們常用的求解方法。

[ 參 考 文 獻 ]

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