單擺法和自由落體法測量重力加速度和實驗分析

【摘要】單擺法和自由落體法是測量重力加速度常用的兩種方法。本文用這兩種方法多次測量得到了達州地區重力加速數值，并對實驗結果進行了對比分析。結果表明，自由落體法測得的重力加速度誤差更小，測量方法簡單。因此，自由落體法是實驗室測量重力加速度相對更好的選擇。

【關鍵詞】重力加速度 單擺法 自由落體法

【中圖分類號】O314 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）51-0157-02

1.引言

重力加速度是物理學中一個重要的參量，它從本質上反映了地球引力的強弱[1]。地球上各個地區的重力加速度數值隨地理緯度和海拔高度的不同而有所差異。一般來說，赤道附近重力加速度數值最小，越靠近兩極重力加速度數值越大。重力加速度最大值和最小值僅相差1/300。研究重力加速度的分布情況在地球物理學中具有重要的科學價值和實用意義[2]。準確測定重力加速度數值對計量學、地球物理學、地震預報、重力探礦和空間科學都有著重要的意義[3]。比如利用專門儀器，仔細測繪該地區的重力加速度數值的分布較弱的區域，可能存在石油或天然氣。實驗中，測量重力加速度數值的辦法有很多，常見的方法是單擺法和自由落體法。

2.實驗與討論

2.1 單擺法測量重力加速度

實驗原理：將一個金屬小球懸掛在一根不可伸長的細長線末端。在細線長度遠大于小球的半徑、小球質量遠大于細線質量的條件下，將懸掛的小球自平衡位置拉至一邊（要求擺角小于5°），再由靜止狀態輕輕釋放，擺球則在平衡位置附近做周期性的來回擺動，這就是單擺（如圖1所示）。

令小球的質量為m，其質心到單擺固定點的距離為l（擺長），可知作用在小球上的切向力的大小為mgsinθ。當θ很小時，sinθ≈θ，則切向力的大小可改寫為mgθ，根據牛頓第二定律，質點的運動方程為：

方程與簡諧運動方程的形式一致，可由此得出簡諧運動角頻率ω為：

實驗步驟：（1）測定擺線長L（用卷尺測三次，取平均值）；（2）測量球的直徑d（用游標卡尺測量三次，取平均值），可求出擺長：l=L+d/2；（3）用光電計時器測量30個周期的時間t（測量三次30T=ti，取平均值）。實驗數據和處理結果見表1。

2.2 自由落體法測量重力加速度

實驗原理：閉合開關S吸住鐵球，拉開S，球開始下落。下落到A門時毫秒計時器開始計時，下落到B門時停止計時。圖2為裝置示意圖。

實驗步驟：

（1）調節B門的豎直高度，令A，B門的距離為s1；（2）打開開關S，釋放小球；（3）記錄時間間隔t；（4）調節B門的位置（到C、D、E、F、G等處），多次重復步驟1、2和3。實驗數據和結果見表2。

2.3 兩種測量方法的誤差計算和分析

達州地區的重力加速度參考值為9.7914m/s2，本實驗用單擺法和自由落體法測量的重力加速度誤差見表3。

從表3中可以看出，自由落體法得出的重力加速度誤差更小。

單擺法測量重力加速度誤差分析：

（1）小球可能不在同一個豎直平面內擺動，是一個“錐擺”，不是一個理想的單擺，周期測量值偏大，得出重力加速度數值偏小。

（2）擺角小于5°時，在實驗精度范圍內，不同擺角的周期與角度θ無關。實際上，單擺的周期T隨擺角θ增加而增加。根據振動理論，周期可以表示為：

（3）懸線質量m0應遠小于擺球質量m，擺球的半徑r應遠小于擺線長l，但是實驗中的單擺不是理想的。根據理論推導，考慮上述因素時的擺動周期是[1]：

（4）復擺的修正。實驗假定小球是一個質點，且不計擺線質量，實際上，從精確測量的角度分析，擺線質量并不等于零。小球半徑也不等于零。所以實驗中的單擺不是一個理想的單擺，而是一個繞固定軸擺動的復擺。其周期可用下式表示：

其中m是小球質量，μ是擺線質量，l是擺線長度，r是小球半徑。周期誤差的數量級為10-4。

（5）空氣浮力的影響。考慮到空氣的浮力，則周期為[1]：

ρ和ρ0分別為小球和空氣的密度。可知周期與小球的材料有關，密度越大，影響越小。周期誤差的數量級為10-4。

（6）考慮空氣粘滯阻力和其它因素引起的摩擦力。單擺擺動時，由于受到空氣粘滯阻力和其它摩擦阻力，單擺不是作簡諧振動而是作阻尼振動，使周期增大。

自由落體法測量重力加速度誤差分析：

（1）實驗支架不是豎直，上下兩光電門的中心不在同一條鉛垂線上，落球不會通過A，B門的中點，會使時間測量值偏大，導致重力加速度數值偏小。

（2）實驗過程中支架可能發生晃動（學生在實驗室走動）。

（3）存在空氣阻力，會使計算得出的重力加速度數值偏小。

（4）視差。在測量si時，視線并未保證嚴格水平，使讀數與實際距離有一定的差別。

（5）小鐵球的穩定性。實驗中應當使小球穩定后再釋放，如果小球釋放時處于擺動狀態，會影響計時。

3.結論

本文比較了用于測量重力加速度的單擺法和自由落體法，經過對實驗數據的分析和總結，得到以下結論：

（1）兩個實驗中，自由落體法測量重力加速度誤差小，實驗可重復性較好，與董等人[3]的結論不同。

（2）單擺法的誤差主要來自周期測量和擺線長測量的精確度，自由落體法的誤差主要來自時間測量和長度調整的精確度。綜合來看，擺線長測量容易引入較大誤差。所以自由落體法的誤差比單擺法的誤差小。

參考文獻：

[1]楊延欣，趙春華.大學物理實驗[M].北京：科學出版社， 2011.

[2]鄭建洲.大學物理實驗[M].北京：科學出版社，2007.

[3]董光興，王新興，張鵬，楊文君，祿志強.重力加速度的測量方法與實驗分析[J].河西學院學報： 2015（5）：31-76.

[4]杜旭日.大學物理實驗[M].廈門：廈門大學出版社，2012.

作者簡介：

熊倫（1985-），男，博士，講師，主要從事大學物理實驗教學工作。