以數學素養立意的高考試題評析*

四川內江師范學院數學與信息科學學院 (641112) 李雪梅 趙思林四川省瀘州市教育科學研究所 (646000) 鄭鳳淵

*項目來源：教育部“本科教學工程”四川省地方屬高校本科專業綜合改革試點項目——內江師范學院數學與應用數學“專業綜合改革試點”項目(ZG0464)；四川省“西部卓越中學數學教師協同培養計劃”項目(ZY16001)，內江師范學院2016年度校級學科建設特色培育項目(T160009，T160010，T160011)．趙思林系本文通訊作者．李雪梅現為四川師范大學數學與軟件科學學院在讀研究生.

一、關于數學素養的認識

《上海市中小學數學課程標準(試行稿)》認為“數學素養是人們通過數學教育以及自身的實踐和認識活動,所獲得的數學基礎知識、基本技能、數學思想和觀念,以及由此形成的數學思維品質和解決問題能力的總和.”[1]張亞靜認為，數學素養包括:數學基本知識，數學基本技能，數學思想方法，數學應用意識和數學美學價值的欣賞．[2]吳新華認為，“高中數學核心素養主要有四大特征：①數學運算．加減乘除、乘方、開方、指對數式運算等等．②數學推理．③數學意識與數學化看世界的能力，即處理不同于數學的問題時有數學頭腦．④數學的情感態度價值觀的形成，特別是認識到數學的科學價值、應用價值和文化價值，感受到數學的獨特之美．”[3]筆者認為，數學素養包括對數學知識的認知素養(核心是理解數學)，數學方法和基本技能的習成(因練習而成)，數學思想的感悟，數學探究意識、應用意識和創新意識的生成，數學人文精神的形成等．近年來的高考數學試題的設計，越來越體現對數學能力素養的考查．下面從數學基礎知識和基本技能，數學思想方法，數學探究意識、應用意識和創新意識，數學人文精神等角度對一些高考數學試題的立意進行分析與評價．

二、基于數學能力素養的高考數學試題評析

(一)以數學基礎知識和基本技能立意的試題評析

數學基礎知識主要是指數學概念系統和數學命題系統．數學基本技能是指建立在數學基本概念、基本性質和重要定理等基礎之上的程序性技能，包括：運算技能、畫圖(幾何作圖)技能、推理技能和運用數學工具(圓規、量角器、計算尺、數學用表、計算器、圖形計算器、幾何畫板、數學軟件等)的技能．在高考中，以數學基礎知識和基本技能立意的試題一般可由課本中的例題、習題和復習題加工，改造、整合而成，這類試題平和、平常，貼近教學實際，是考生熟悉的題型．

圖1

例2 (2017年全國新課標Ⅰ理7)某多面體的三視圖如圖1所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為( )．

(A)10 (B)12

(C)14 (D)16

評析：由題意該幾何體的直觀圖是由一個三棱錐和三棱柱構成，此題要求學生根據三視圖想象還原成立體圖形，并計算幾何體中各個面是梯形的面積，考查了識圖、想圖、畫圖等空間想象能力．選B．

(二)以數學思想方法立意的試題評析

數學思想是在數學知識的認知、數學思維的形成和數學方法的掌握過程中形成對數學科學的宏觀把握及對其精神實質的領悟．它以其特殊的方式表現其客觀世界的數量關系和空間形式，使客觀世界豐富的辯證思想顯現出來．[4]高考數學涉及的重要思想包括函數與方程的思想、分類討論與整合思想、數形結合的思想、化歸與轉化的思想、特殊與一般的思想、統計思想等，這些思想在高考解題中具有重要作用．因此，這些數學思想歷來是高考的核心和熱點．數學是一門具有方法論性質的科學．所謂數學方法，是指運用數學工具進行邏輯推演，從而找出一種以數學形式表征事物規律的方法．[4]早在古希臘時，就把數學當作一種重要的思維方法和手段．因此，數學本身就是一種方法．在高考中具有通性通法價值的數學基本方法，包括配方法(配湊法)、換元法、待定系數法、反證法、分析法、函數法、三角法、向量法、解析法、導數法、不等式法、數學歸納法(可惜已不屬必修內容)等，應予重視．

(A)必要不充分條件 (B)充分不必要條件

(C)充要條件 (D)既不充分也不必要條件

圖2

括邊界).實數x,y滿足②則必然滿足①，反之不成立.則p是q的必要不充分條件.

評析：本題主要考充要條件、線性規劃、圓等基礎知識，并運用數形結合思想將題干中所給的兩個命題轉化為具體圖形(區域)，再通過數形結合進行求解，化繁為簡．選A．

例5 (2014年四川卷理21)已知函數f(x)=ex-ax2-bx-1，其中a,b∈R，e=2.718…為自然對數的底數．

(1)設g(x)是函數f(x)的導函數，求函數g(x)在區間[0,1]上的最小值；

(2)若f(1)=0，函數f(x)在區間(0,1)內有零點，求a的取值范圍．

解析：(1)根據函數f(x)的解析式表示g(x)=f′(x)=ex-2ax-b，要求函數g(x)在區間[0,1]上的最小值，需對g(x)求導，則g′(x)=ex-2a，因為x∈[0,1]，1≤ex≤e，所以分情況討論：

綜上，可得函數g(x)在區間[0,1]上的最小值.

故a的取值范圍為(e-2,1)．

評析：本題主要考查導數、函數最值的求法等基礎知識，并考查分類討論思想、數形結合思想和創新意識．第(2)問由于不容易找到(發現)解題思路，因此有較高的難度，但若從問題暗含的幾何背景著手思考與探索，就不難發現解題思路．第(2)問的運算量并不大，但其思維量是很大，這體現了“多想少算”的命題理念．因此，本題是一道不可多得、具有較高命題水平的壓軸題．據說本題的命制是借助幾何畫板研究指數函數y1=ex與二次函數y2=ax2+bx+1的交點情況而創作的．

(三)以數學應用意識立意的試題評析

數學應用意識是指個體主動從數學的角度，用數學知識、方法、技能、思想解決各種問題的一種心理傾向，是從數學的角度、用數學的思維去觀察和分析實際問題的一種思維傾向性．當下的高考試題命題重視對考生數學應用意識的考查．數學應用性試題有以下特點：一是背景公平、熟悉，問題情境有一定新穎性，敘述比較簡明易懂；二是對于含有實際背景的問題，主要考查數學的應用，即運用數學知識、數學思維、數學方法和數學思想，去解決生活、學習及社會實踐中的一些比較簡單的問題，試題突出數學在解決實際問題中的應用價值，從而實現對應用意識的考查；三是伴隨考查閱讀理解能力、數學建模能力；四是適度控制運算量，確保考生有較多時間去“想”．

圖3

例6 (2017年全國新課標Ⅰ理2文4)如圖3，正方形ABCD內的圖形來自中國古代的太極圖．正方形內切圓中的黑色部分和白色部分關于正方形的中心成中心對稱．在正方形內隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是( )．

例7 (2016年全國新課標Ⅱ文8)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現綠燈的概率為( )．

評析：本題都市生活氣息濃厚，以人行道的信號燈的變換規律為情境，將數學與都市生活相結合，突顯數學的實用價值．選B．

例8 (2017年全國新課標Ⅲ理3文3)某城市為了解游客人數的變化規律，提高旅游服務質量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬人)的數據，繪制了下面的折線圖．

根據該折線圖，下列結論錯誤的是( )．

(A)月接待游客量逐月增加

(B)年接待游客量逐年增加

(C)各年月接待游客量高峰期大致在7，8月份

(D)各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩

評析：由折線圖，7月份后月接待游客量減少，A錯誤．本題要求學生根據折線圖發現相關規律和了解我國游客出行的變化趨勢，考查了學生從統計圖表中提取信息、分析統計圖表并做出正確判斷的能力．本題滲透了旅游業的發展對地區的經濟、環境及服務業發展的積極作用．選A．

(四)以數學探究意識和創新意識立意的試題評析

探究有廣義和狹義之分．狹義的探究專指科學探究或科學研究，廣義的探究指一切獨立解決問題的活動．數學探究在高考中已有很多體現．數學探究性試題一般是在試題中創設出探索性的問題情境，然后讓考生在短時間內經歷探究過程，這個過程應該包括學生自己主動地制定計劃，觀察問題，分析問題，計算數據，大膽假設，嘗試探究，提出猜想，證明猜想，檢驗結論，應用結論，綜合評價，解決問題等．近年來高考數學命題非常重視以創新意識立意，通過適量的創新型試題來考查學生的創新意識，即對新穎的信息，情境的設問，能選擇有效的方法和手段分析，處理信息，綜合與靈活地運用所學的數學知識、思想和方法，進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，并創造性地分析和解決問題．數學高考中常出現一些立意新、情境新、設問新的試題，此類試題新穎、靈活，能考查學生的創新意識和創新能力．

例9 (2017年全國新課標Ⅱ理7)甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績．老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績．看后甲對大家說：我還是不知道我的成績．根據以上信息，則( )．

A．乙可以知道四人的成績

B．丁可以知道四人的成績

C．乙、丁可以知道對方的成績

D．乙、丁可以知道自己的成績

評析：本題設計具有趣味性、新穎性和創新性，命題思路新穎別致、深含邏輯思維意蘊．本題基本特點是不需要“算”，只需“思”．這里的“思”是指邏輯思維、逆向思維，具體是邏輯推理、反證法等．本題的解答沒有現成方法(經驗)可以借鑒，解答思路的發現既需“探”、又需“究”(即證明)，是一道能有效考查探究意識、創新意識和思維能力的優秀題目．也可以說，這是一道考查數學核心素養十分難得的好題．選D．

例10 (2015年全國新課標Ⅱ理10文11)如圖4，長方形ABCD的邊AB=2，BC=1，O是AB的中點，點P沿著邊BC，CD與DA運動，記∠BOP=x．將動點P到A，B兩點距離之和表示為x的函數f(x)，則f(x)的圖像大致為( )．

其中的真命題是 (寫出所有真命題的序號).

評析：本題是一道立意高遠、背景深刻、結論開放、易于推廣、富含探究價值的好問題．[5]易知答案：②③.

(五)以數學人文精神立意的試題評析

將數學人文精神納入高考范圍，這是當下高考命題的新亮點、新熱點和新趨勢，應予重視．數學人文精神，是指人們對數學的信念、價值、意義、精神、文化、情感的理解和把握，對數學價值理想的追求以及數學審美情趣的總和．數學人文精神的核心是數學理性精神．數學理性精神體現在崇尚實事求是，具有質疑、懷疑和批判態度，崇尚獨立思考，追求真理、判斷的合理性和公正性，客觀公正、尊重事實、以理服人等方面．中國作為文明古國，在歷史上也創造了一些優秀的數學文化，如祖沖之推算的圓周率，秦九韶的多項式算法，商高證明勾股定理用的割補思想，楊輝三角等．涉及優秀數學文化的試題，要求考生具有一定的數學視野，能讓考生認識數學在社會歷史發展中的獨特地位，體會數學的科學價值和人文價值，崇尚數學的理性精神，感受數學文化的魅力．

例12 (2017年浙江卷11題)我國古代數學家劉徽創立的“割圓術”可以估算圓周率π，理論上能把π的值計算到任意精度．祖沖之繼承并發展了“割圓術”，將π的值精確到小數點后七位，其結果領先世界一千多年，“割圓術”的第一步是計算單位圓內接正六邊形的面積S內，S內= ．

圖5

例13 (2015年全國新課標Ⅰ理6文6)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖5，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出墻角的米約有( )．

(A)14斛 (B)22斛 (C)36斛 (D)66斛

評析：本題的創作靈感來自于《九章算術》這部中國古代數學名著，以中國數學史為背景．題目中“圓周率約為3”可能有四個深意：一是考生看到圓周率就容易聯想到祖沖之，祖沖之是我國古代南北朝時期的大數學家和天文學家，在世界數學史上圓周率是祖沖之最早發現并推算出來的，其成果領先世界上千年，這里有讓考生受到愛國主義教育的深意；二是取圓周率為3是為了簡化繁瑣運算，體現“多想少算”精神；三是本題需要作估算和近似計算，而估算和近似計算是開發創造腦(右腦)的重要方法；四是取圓周率為3，讓考生感到數據比較簡單，可以增強考生的信心，體現了高考對考生的人文關懷．本題是一道含有實際背景的應用問題，要求考生具有一定的閱讀理解能力、數學建模能力，而閱讀與理解、數學建模是數學創新人才的基本素養．因此，本題是一道考查數學人文精神的優秀題目．答案選B．

例14 (2017年全國新課標Ⅱ理3)我國古代數學名著《算法統宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數是上一層燈數的2倍，則塔的頂層共有燈( )．

(A)1盞 (B)3盞 (C)5盞 (D)9盞

三、高考“核心素養”命題展望

核心素養被視為是21世紀信息社會公民“必備的”素質，培養學生核心素養已成為未來學校教育的基本任務和發展趨勢，世界許多發達國家都在進行基于培養核心素養的教育研究．其中，數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等六個方面，將數學核心素養納入高考，既符合課程標準的要求，又能推動數學核心素養走進課堂．研究學生發展核心素養是落實立德樹人根本任務的一項重要舉措，也是適應世界教育改革發展趨勢、提升我國教育國際競爭力的迫切需要．

數學核心素養的考查包括多方面的內容，高考中常以多角度的立意來體現核心素養，如：以數學基礎知識和基本技能立意、以數學思想方法立意、以數學應用意識立意、以數學探究意識和創新意識立意、以數學人文精神立意等．學生發展核心素養不是一項一朝一夕就可以完成的工作，對教師而言是貫穿于整個學校教育過程中的長期工作，它是一場接力賽．

[1]上海市中小學數學課程標準(試行稿)[S].上海:上海教育出版社，2004.

[2]張亞靜.數學素養:學生的一種重要素質[J].中國教育學刊，2006，(3)：65-67.

[3]吳新華．高中數學學科素養培養的認識與實踐[J]．(人大復印)高中數學教與學，2016，(12)：3-6．

[4]朱德全.數學素養構成要素探析[J].中國教育學刊，2002，(5)：49-51.