向量數(shù)量積范圍問(wèn)題的解法舉要

江蘇省海門中學(xué) (226100) 樊陳衛(wèi)

向量數(shù)量積是向量的一種重要運(yùn)算，包括高考在內(nèi)的各類考試中求向量數(shù)量積的值或范圍問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮.學(xué)生面對(duì)此類問(wèn)題，如果思維單一，往往陷入束手無(wú)策的境地.本文通過(guò)不同的例子，試圖揭示求向量數(shù)量積范圍問(wèn)題的解題策略.

一、用定義

求向量的數(shù)量積，那么什么是向量的數(shù)量積，回到向量數(shù)量積的定義中去，往往是學(xué)生首先想到思路.

點(diǎn)評(píng):向量數(shù)量積的定義，換一個(gè)視角，可理解為其中一個(gè)向量的模與另一向量在該向量上的投影之積，用投影的思路在解決已知其中一個(gè)向量模的數(shù)量積問(wèn)題中可以優(yōu)先考慮.

圖1

點(diǎn)評(píng):從以上例題可以看出，當(dāng)問(wèn)題涉及向量較少，兩個(gè)所乘向量的夾角，或者向量模等相關(guān)數(shù)據(jù)已知，直接用定義可以達(dá)到立竿見(jiàn)影之效，當(dāng)然也可以引進(jìn)向量模或夾角等相關(guān)變量，再應(yīng)用向量數(shù)量積的定義來(lái)解決問(wèn)題.

二、轉(zhuǎn)基底

若問(wèn)題涉及較多的向量，且所求向量的夾角或向量模不易求出，直接用向量的定義可能會(huì)碰壁，這時(shí)應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路，選擇合適的兩個(gè)向量作為基底，其余向量用基底向量表示，往往也是解決向量數(shù)量積問(wèn)題的突破口.

圖2

點(diǎn)評(píng):從例3可以看出，用基底法的關(guān)鍵是基底向量怎么定.一般而言，已知向量模、夾角等相關(guān)信息較多，和其余向量聯(lián)系也比較緊密的向量往往是基底向量的首選.

三、建坐標(biāo)

如果不能確定哪一對(duì)向量作為基底，不妨建立平面直角坐標(biāo)系，將相關(guān)向量坐標(biāo)表示出來(lái)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算解決問(wèn)題.

點(diǎn)評(píng):本題條件中關(guān)鍵兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)確定了目標(biāo)式的取值，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，一點(diǎn)在圓上，一點(diǎn)在圓內(nèi)，如何引進(jìn)變量來(lái)表示這兩個(gè)活動(dòng)范圍不同的點(diǎn)，是本題能順利解決的關(guān)鍵.

四、用結(jié)論

圖3

例5 如圖4，在正方形ABCD中，AB=2，M,N

圖4

圖5

向量數(shù)量積的范圍問(wèn)題歸根結(jié)底還是變量的范圍問(wèn)題，數(shù)量積的值一般由一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)的位置確定.針對(duì)題目所給的條件，引入恰當(dāng)?shù)淖兞?，可能是點(diǎn)的坐標(biāo)、某條線段的長(zhǎng)度、某個(gè)角度，針對(duì)題目所給條件的特征，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ茼樌鉀Q問(wèn)題.