規范靈活的思維是解決壓軸題的關鍵
——以展示兩道函數與導數壓軸題解題歷程為例

山東省寧陽第一中學 (271400) 陳博文

函數與導數作為高中數學的核心內容之一，在高考命題中一直作為壓軸題出現.它能充分體現考生的思維品質和精神品質，是同學們在考試中都想摘得的一顆明珠.但同學們普遍反映,在此類題型的解題過程中經常步履艱難，不知從何下手，以至于最后對其產生了畏懼之心.

其實，函數與導數題型的難度，在于它的邏輯思維戰線長，中間一波三折，又可穿插考查分類討論、數形結合等多種數學思維.在解題過程中，考生冗長的思維易出現混亂，便會出現說理不清甚至不能繼續答題的情況.因此，把自己的解題思維變得規范、靈活、有條理、簡潔，是十分必要的.

1.注重積累，夯實基礎，養成規范的數學思維

規范的思維，首先在于如何去分析問題，解決問題，并快速地從知識儲備中提取所用知識.常見題型的各種問題，每一步的操作步驟,甚至具體到在哪一點上自己易出錯，都應熟記于心.基礎扎實，不僅是指知識上的準確，更在于運用的熟練，即能形成一套規范的解題程序.而這種規范思維的養成，需要平時多整理、多思考、多練習.

在學習的過程中，思考很關鍵.解題程序牢記于心，依賴于對每一個步驟的理解.比起只刷題不思考，先思考、再利用刷題檢驗自己的思考成果更為高效，也更易使人養成規范的思維.下面，我用兩個題目來闡述規范的數學思維的重要性.

題目1 (2017年山東卷理20)已知函數f(x)=x2+2cosx，g(x)=ex(cosx-sinx+2x-2),其中e=2.71828…是自然對數的底數.

(Ⅰ)求曲線y=f(x)在(π,f(π))處的切線方程;

(Ⅱ)令h(x)=g(x)-af(x)(a∈R)，討論h(x)的單調性并判斷有無極值，有極值時求出極值.

分析：(Ⅰ)明顯是切線問題.對于這一類問題，我們的基本思維為抓住切點建方程，列出點斜式便可較快地得出答案.

(Ⅱ)是探究函數的單調性和極值.其基本步驟為：求出h′(x)，并探究它與零的關系.通過對參數討論的手法來描繪出函數圖像的特點.

解題歷程：(Ⅰ)由題意可得f(π)=π2-2，故切點坐標為(π,π2-2)；又f′(x)=2x-2sinx，故f′(π)=2π，因此，切線方程l:y-f(π)=f′(π)(x-π)，整理得l:2πx-y-π2-2=0.

(Ⅱ)由題意，h′(x)=ex(cosx-sinx+2x-2)+ex(-sinx-cosx+2)-a(2x-2sinx).

自問1：h′(x)的表達式過于冗長，應該如何處理呢？

自答1：由于h′(x)的表達式過于冗長，(Ⅱ)問大部分同學因此折戟沉沙.做到這里，我們在考場上應想：我們是如何通過導數來研究圖像的？我們通過討論導數與零的關系來畫出草圖研究極值，但對于現在的h′(x)，我們仿佛很難討論它與零的關系.此時，規范的程序性思維便派上了用場，對這種和差形式的導數，最通常的辦法是通過因式分解求出變號零點，再進行討論.

于是可得h′(x)=2ex(x-sinx)-2a(x-sinx)=2(ex-a)(x-sinx).

自問2：因式ex-a與零的關系需要進行分類討論，因式x-sinx不含有任何參數，那么x-sinx與零的關系如何？

自答2：既然因式x-sinx不含有任何參數，那么x-sinx與零的關系只與變量x有關，可以新設函數，進行研究；對于因式ex-a，可令ex-a=0,即ex=a,若使得該方程有解，只需要討論參數a與0的關系，當a≤0時，顯然ex-a>0,當a>0時，方程ex=a的解為x=lna,此時需要綜合x-sinx的零點進行分類討論.

設m(x)=x-sinx,由于m′(x)=1-cosx≥0,則m(x)在R上單調遞增，又因為m(0)=0，所以當x<0時，m(x)0時，m(x)>m(0)，即x-sinx>0.

設n(x)=ex-a，h′(x)=m(x)·n(x).

(1)當a≤0時，ex-a>0恒成立;則當x<0時，h′(x)<0,h(x)單調遞減；當x>0時，h′(x)>0，h(x)單調遞增；當x=0時有最小值h(0)=-2a-1，無極大值.

(2)當a>0時，令ex-a=0得x=lna.

①若lna<0,即00，因此h(x)在(-∞,lna)上單調遞增；無極值；

②若lna=0，即a=1，當x<0時，m(x)<0,n(x)<0,故h′(x)>0，因此h(x)在(-∞,lna)上單調遞增；無極值；

③若lna>0，即a>1，當x<0時，m(x)<0,n(x)<0,故h′(x)>0；當0lna時，h′(x)>0，h(x)在(lna,+∞)上單調遞增；因此x=0時，h(x)取到極大值，h(0)=-2a-1，x=lna時，h(x)取得極小值為h(lna).

綜上(1)、(2)分類，便可得最終答案.

評注：細思本題，仍然考查處理函數與導數問題的通性通法，本題能作為壓軸題，重點在于考查數學的基本功，如因式分解、分類討論等，只不過對這些通性通法的考查，換了復雜的函數背景，為了克服這種背景陌生，由于思維過程冗長帶來的解題失分，我們在日常的復習過程中，應該注入研究性思維，將理論知識轉化為我們切實可行的解題程序，尋找萬變不離其宗之“宗”，揭示問題的本質.例如本題涉及到的切線問題，核心在于抓住切點建方程，那么由切點引發的結論是什么？切點可得切線斜率、切點在切線上、切點在曲線上，利用關于切點的這三條，關于切線甚至于較難的問題我們也會迎刃而解；對于(Ⅱ)問，我們要始終確信，在我們應該掌握的知識范疇內，只要研究導數，就一定是研究導數與0的關系，知道了導數與0的關系，我們也就清楚了單調性、極值點的問題了，對于分類討論，是因需要才討論，不是去欣賞怎樣討論對不對的問題，而是解決為什么要討論的問題，很明顯，弄清楚了兩個因式m(x),n(x)與零的關系，我們得到了關于參數a的一級討論點“0”，但又無法區分兩因式與0的關系，需要比較lna與0的大小，從而得到了關于參數a二級討論點“1”，綜合起來，即對a的討論分為a≤0,01.這就是規范的思維總結.

2.善于觀察，尋找聯系，注重靈活的解題思維

對于函數與導數部分出現的新情景、新問題，要善于觀察問題結構，尋找函數問題的內在聯系，可使用分析法、綜合法等方式與已知建立聯系，從而找到解題的突破口.

題目2 (2016年全國新課標卷Ⅰ理21)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍;

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明x1+x2<2.

分析：(Ⅰ)對于零點的問題，我們常用的方法是含參討論函數形態，或者采用分離參數的方法化為常數函數與其它函數交點個數來解.

(Ⅱ)觀察求證x1+x2<2，問法新穎，如何將此問轉化為函數破解是解決本題的關鍵，不妨結合第一問采用分析法解之.

令f(x)=0,即得(x-2)ex=-a(x-1)2，顯然a=0不滿足兩個零點的條件，從而x=2,x=1也不是函數f(x)的零點.

(1)若a<0，則x>2,從而(x-2)ex>0,

-a(x-1)2>0，兩邊取以“e”為底的對數，可得ln(x-2)+x=ln(-a)+2ln(x-1),即ln(x-2)+x-2ln(x-1)=ln(-a).

(2)若a>0，則x<2，(x-2)ex=-a(x-1)2可化為(2-x)ex=a(x-1)2，當1

(1,2)上單調遞減，又x→1,h1(x)→+∞,x→2,h1(x)→-∞，函數y=lna與函數h1(x)在(1,2)上僅有一個交點；當x<1,則函數(x-2)ex=-a(x-1)2可化為ln(2-x)+x=lna+2ln(1-x),即

ln(2-x)+x-2ln(1-x)=lna.

(-∞,1)上單調遞增，又x→1,h2(x)→+∞,x→

(Ⅱ)自問2：由(Ⅰ)可知，若x1,x2是f(x)的兩個零點，則a>0，若設x1

自答2：若證x1+x2<2成立，只需證明x1<2-x2，而2-x2<1，那么x1,2-x2均在“1”的左側.那么如果知道函數f(x)在(-∞,1)上的單調遞減，則只需證明f(x2)=f(x1)>f(2-x2).

解題歷程：易得f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

在(Ⅰ)已得到a∈(0,+∞)，明顯 因式ex+2a>0在R上恒成立.所以，x∈(-∞,1)，f′(x)<0,x∈(1,+∞)，f′(x)>0.f(x)在(-∞,1)上單調遞減，在(1,+∞)單調遞増.要證x1+x2<2，只要證x1<2-x2.不妨設x1f(2-x2),即f(x2)-f(2-x2)>0.

設F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+xe2-x(x>1)，則F′(x)=(x-1)(ex-e2-x),因為x>1，F′(x)>0在x∈(1,+∞)上恒成立，即F(x)在(1,+∞)上單調遞增，故F(x)>F(1)=0.

因x2>1,則F(x2)=f(x2)-f(2-x2)=f(x1)-f(2-x2)>0,即f(x1)>f(2-x2)，命題得證.

評注：解完后回思，本題總體的難度就體現在解題方法的選擇和對問題的處理技巧上.而找出一個即快又準的辦法，是解決這類創新型題目的關鍵.對于(Ⅰ)問，雖然考察的是常見的零點個數問題，但就其運用先討論等式兩側正負，再等式兩邊同取對數的手法，還是對邏輯思維能力的一個較大考驗.這就要求我們在平常的學習中多探究，多總結.如：在什么時候我們采取“取對數”的手法能大大降低試題難度呢？通過對本題的剖析，我們可發現：取對數的作用就是將因式拆分.對于等號兩邊同為乘積式的等式，我們取對數便可將乘積拆分.但我們應注意，只有在參數單獨自為因式(不與自變量同因式)時，我們的分離才是有效的.如將題(Ⅰ)中的等式改為(x-2)ex=-(a-x)(x-1)2，再通過取對數的手法進行處理，得到的仍是含參問題，這樣的套用無異于南轅北轍.因此要明確，我們取對數的目的是將參數分離出來，以免去之后的含參討論函數形態.而對于(Ⅱ)問，考察的本質仍是函數問題，但具體考察意向并不像上問一樣直白.這要求我們突破常規問題的思維禁錮，抽絲剝繭，抓住問題的本質.該問實際上是在讓我們描述函數圖像的細節：函數f(x)在x=1左側的圖像的斜率絕對值始終小于右側圖像的絕對值.題目正是通過一個關于零點的不等式刻畫了函數圖像“偏對稱”這一特點，而我們要做的只是將函數圖像的這一特點用代數表達、證明.如果我們認識到了這一點，想到運用對稱設法，構建新的函數也就變得自然而然了.因此，想要解決這類新穎的題目，真正理解手法的原理，剖析問題的本質才是治本之策，這也是訓練靈活的解題思維所必須的.

圖1 圖2 圖3

題目2變式已知函數f(x)=ln(ax+1)-ax-lna.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性;

因此，對于我們已經解過的題型，要具體問題具體分析，找到問題異同點，靈活運用，趨利避害，才能在考場上精準解答.

規范、靈活的數學思維的養成，對導數與函數大題的解決起到了至關重要的作用，是解題思路條理清晰的前提.為提高我們的邏輯思維能力，在考試中突破分數瓶頸，我認為在平常學習中應做到以下二點：一是數學思維的養成，需要做到“整理、思考、練習”，步步為營.平時多問自己幾個為什么，加強對解題步驟中細節的揣摩，將其思想融到心中，才能在舊題型上做到既快又準，在新題型上有所突破.二是數學學習是一個循序漸進的過程.對函數與導數的理解也是如此，問題的深入也是思維的升華，不斷地自問自答同樣也是循序漸進學習的過程，我們平時多獨立思考，總結并積累自己的解題模式并加以必要的練習，才能在考場上游刃有余.

如果說數學考試是一場思維的博弈，那函數與導數便是其最精彩的部分.希望同學們能靜下心來，去感悟數學思維的魅力，在對數學的探究中找到自己的樂趣！