導(dǎo)函數(shù)零點無法求解的常見處理策略

江蘇省通州高級中學(xué) (226300) 馬 進(jìn)

導(dǎo)數(shù)題是高考的重點和熱點，求解導(dǎo)數(shù)問題的一般步驟是：先求出導(dǎo)數(shù)，然后求出導(dǎo)數(shù)為零的值即導(dǎo)數(shù)的零點，再利用導(dǎo)數(shù)的值的正負(fù)來確定原函數(shù)的單調(diào)性，從而使問題得到解決.但有時往往會碰到導(dǎo)數(shù)式是超越式，導(dǎo)數(shù)的零點不可求，從而使問題陷入了困境.這類問題涉及知識面廣、綜合性強(qiáng)，對學(xué)生的思維能力要求較高.本文通過對江蘇省蘇州市一道高三模擬試題的探究、變式來初步說明這類問題的常規(guī)處理方法，供讀者參考.

策略一、導(dǎo)函數(shù)沒有零點，再次求導(dǎo)判正負(fù)

例(2017·蘇州模擬)已知函數(shù)f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R)．

(1)略；(2)若對于任意x∈[e，e2]，都有f(x)<4lnx成立，求實數(shù)k的取值范圍．

點評:恒成立問題我們首先想到的是分離參數(shù)，然后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.反思本題的解答，連續(xù)運用了兩次求導(dǎo).第一次求導(dǎo)后令局部為新的函數(shù)，進(jìn)行第二次求導(dǎo)，然后逆推說明函數(shù)的單調(diào)性，最后求出原函數(shù)的最值.

二、觀察零點，求導(dǎo)驗證

點評:首先求導(dǎo)后通過觀察“探出”一個零點，然后再通過求導(dǎo)，說明函數(shù)的單調(diào)性，即證明零點的唯一性，最后分析出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，使得問題獲得求解.

三、虛設(shè)零點，整體代換

四、變形重組，等價轉(zhuǎn)換

點評:如果直接構(gòu)造函數(shù)難以求導(dǎo)函數(shù)的零點，可以通過整合重組函數(shù)表達(dá)式，將原函數(shù)化為簡單、易求導(dǎo)函數(shù)零點的函數(shù).在重組的過程中，我們要敢于嘗試，大膽變形，沒路走要找路走，也不要急于有路就走，要適當(dāng)選擇好的方案，多想一點就少算一點.