用好特殊函數值巧解函數恒成立問題

浙江省海鹽縣元濟高級中學 (314300) 李慧華浙江省嘉興市煙草公司海鹽分公司 (314300) 步挺俊

在高三備考過程中,我們經常會遇到函數恒成立問題.這類問題往往會從正面利用函數在某個區間上的最值來進行處理,但有時出現的弊端就是在求最值的時候,會出現需要分類討論的情形,這樣無形中又增加了解題的難度.如果我們能夠采用逆向思維,函數既然在某個范圍內恒成立,則在此范圍內的一些特殊函數值也成立,先將參數的范圍進行縮小,再進行求解,往往可以簡化甚至避免分類討論,優化解題過程.下面舉幾個例子加以說明.

(Ⅰ)當a=2時,求函數f(x)的單調區間;

(Ⅱ)是否存在實數a∈(0,2],使得對任意的x∈[0,a],不等式0≤f(x)≤a恒成立?若存在,求出所有a的值;若不存在,請說明理由.

分析:在第(Ⅱ)問中，如果按照我們平時的常規處理,轉化為求函數f(x)在x∈[0,a]上的最大值小于等于a,同時最小值大于等于0,則需要對a進行分類討論.但如果我們考慮利用f(a)≤a(既然對任意的x∈[0,a],不等式0≤f(x)≤a恒成立,則當x=a時,0≤f(a)≤a也成立),本題的解答就會得到意想不到的簡潔.

例2 已知函數f(x)=(t+1)lnx+tx2+3t,t∈R.若f(x)≥4x對任意x∈[1,+∞)恒成立,求t的取值范圍.

解:∵f(x)≥4x對任意x∈[1,+∞)恒成立,∴f(1)≥4,即4t≥4,∴t≥1.

[-3,3],有f(x)>λ.

分析:發現f(0)=λ,因此f(x)>λ即為f(x)>f(0),所以本題轉化為研究函數在[-3,3]內的單調性即可.

(1)當λ<0,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在x∈[-3,3]上單調遞增,則當x∈(0,3]時,有f(x)>f(0)=λ成立;

(2)當λ>0,令f′(x)=0,得x=lnλ,∴f(x)在(-∞,lnλ)上單調遞減,在(lnλ,+∞)上單調遞增.①當λ>1時,lnλ>0,∴當x∈[-3,0)時,

函數f(x)為單調遞減,∴必有f(x)>f(0)=λ成立;②當0<λ<1時,lnλ<0,∴當x∈(0,3]時,函數f(x)為單調遞增,∴也必有f(x)>f(0)=λ成立.

綜上得,對任意實數λ,總存在實數x∈[-3,3],有f(x)>λ成立.

說明:以上的例子都是巧妙地利用了特殊函數值進行解題的,從而使問題的解決變得簡潔.