基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不等式教學(xué)探析

福建省龍巖一中 (364000) 方秦金

“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”是當(dāng)下的熱詞.何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(征求意見稿)提出數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的，與數(shù)學(xué)有關(guān)的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì).提出數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)：用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的思維分析現(xiàn)實世界、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界.具體為六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析.

如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新形勢下教育教學(xué)的重要問題，本文以不等式的教學(xué)為例闡述培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑與方法，供參考.

1.突出基礎(chǔ)與記憶

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成的基礎(chǔ).“萬丈高樓平地起”， 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思考、數(shù)學(xué)態(tài)度等的綜合體現(xiàn)，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)總是基于數(shù)學(xué)的知識與技能來實現(xiàn)的，沒有扎實的基礎(chǔ)就失去了繼續(xù)前進(jìn)的基石與動力.如何突出基礎(chǔ)呢？

(1)重視基礎(chǔ)知識的前后聯(lián)系

在講不等式性質(zhì)時可復(fù)習(xí)已學(xué)過的不等式性質(zhì)：

不等式兩邊加(或減)同一個數(shù)(或式子)，不等式的方向不變；

不等式兩邊乘(或除以)同一個正數(shù)，不等式的方向不變；

不等式兩邊乘(或除以)同一個負(fù)數(shù)，不等式的方向改變；

在講一元二次不等式及其解法時可復(fù)習(xí)初中一元一次不等式的解法.

如此等等，在知識的前后聯(lián)系中數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性與邏輯性得以加強(qiáng).

(2)重視定理與性質(zhì)的推導(dǎo)及基本解題方法的記憶

數(shù)學(xué)是建立在定理與性質(zhì)之上的一套邏輯系統(tǒng).公式的推導(dǎo)、定理的證明，不僅有利于理解與掌握定理和公式、理解公式之間的相互關(guān)系，還有利于培養(yǎng)邏輯推理能力，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).另外數(shù)學(xué)基本解題方法的記憶對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成也極為重要，沒有記憶就沒有思維，也就無法生成素養(yǎng)！

例1a,b,c為實數(shù)，證明：a2+b2+c2≥ab+ac+bc.

法二：(綜合法)∵a2+b2≥2ab,c2+b2≥2cb,a2+c2≥2ac,三式相加便得a2+b2+c2≥ab+ac+bc.

法三：(構(gòu)造函數(shù)法)設(shè)f(x)=x2-(b+c)x+b2+c2-bc,可知判別式Δ≤0，故f(a)≥0，得證a2+b2+c2≥ab+ac+bc.

講完這題后可叫學(xué)生做下面的練習(xí).

a,b,c為正實數(shù)，證明：a3+b3+c3≥3abc.

面對題目不少優(yōu)秀學(xué)生都眉頭緊皺，事實上利用前面的三種方法均可.

法二：(綜合法)a3+b3+c3+abc-abc≥

有了這些基本解題方法的記憶與訓(xùn)練，較難的題也會有思路了.

2.重視能力與思維

數(shù)學(xué)能力是指個體迅速、成功地完成數(shù)學(xué)活動(數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動、數(shù)學(xué)研究活動)的一種穩(wěn)定的個性特征.邏輯思維能力體現(xiàn)了數(shù)學(xué)能力的典型特征，在數(shù)學(xué)中它表現(xiàn)為用數(shù)和符號來進(jìn)行思維活動的能力，具有較高的抽象水平和較高的心智活動標(biāo)準(zhǔn).

《現(xiàn)代漢語詞典》對“思維”的解釋是：在表象、概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行分析、綜合、判斷、推理等認(rèn)識活動的過程，是人腦對客觀事物的間接和概括的反映.如何提升能力與發(fā)展思維呢？

(1)在注重理解中提升能力

(2)在解題障礙突破中發(fā)展思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開解題，解題也常常會碰到障礙.善于突破、敢于突破解題障礙是發(fā)展思維的有效途徑.不等式問題的解題障礙常常源于不等式問題考查的交匯性與隱蔽性.

如2014年高考新課標(biāo)全國卷Ⅱ理科第17題： 已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

A.0B.1C.2D.4

3.注重變式教學(xué)

變式教學(xué)是指在教學(xué)過程中通過變更概念非本質(zhì)的特征、改變問題的條件或結(jié)論、轉(zhuǎn)換問題的形式或內(nèi)容，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究 “變”的規(guī)律的一種教學(xué)方式.變式教學(xué)有利于揭示問題的本質(zhì)，有利于思維靈活性的培養(yǎng)，從而培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

(1)重視課本例題與習(xí)題的變式

變式不難，只要養(yǎng)成了變式的習(xí)慣可以說變式是無處不在、隨心所欲的.如在講了人教A版必修5P78的例：求不等式4x2-4x+1>0的解集后可作以下變式：

變式1 解不等式：4x2-x-3>0;

變式2 解不等式：4x2-|x|-3>0;

變式4 解不等式：4x2-x-3≥0;

變式5 解不等式：4x2-x-3<0;

變式6 解不等式:x2-(a+1)x+a>0;

變式7 解不等式：ax2-(a+1)x+1<0;

……

通過變式訓(xùn)練，一元二次不等式各類型的解法及其注意點都清楚了.

(2)重視學(xué)生自覺變式能力與意識的培養(yǎng)

老師課堂講授中的變式有利于問題本質(zhì)的揭示與把握，但學(xué)生解題思維靈活性與深刻性的培養(yǎng)最終還有賴于學(xué)生在解題中的自覺變式，如果把變式看成是折騰的話，學(xué)會自我折騰方能不受折騰，感受解題的樂趣、提高解題的能力.

在老師引導(dǎo)下的變式與自覺變式的訓(xùn)練中，思維的靈活性及深刻性得到培養(yǎng)，對問題本質(zhì)的把握得以不斷實現(xiàn).

4.嘗試師生互動教學(xué)模式

在課堂教學(xué)中教師起主導(dǎo)作用，但課堂歸根到底是學(xué)生的，只有學(xué)生在課堂中積極參與并獲得發(fā)展才能保證教學(xué)的有效性，基于不等式內(nèi)容的靈活性與綜合性，可嘗試以下兩種互動教學(xué)模式.

(1)讓學(xué)生講

學(xué)生講有利于生生互動、師生互動，有利于學(xué)生思維的嚴(yán)密性培養(yǎng).

評析：這題答案是B，我校的得分率是44%，我讓一同學(xué)講解，他先講了自己的思考，而后結(jié)合其他同學(xué)的思路從不同的角度得出了多種解法.

(2)讓學(xué)生探究

探究是指學(xué)生在學(xué)習(xí)情境中通過閱讀、觀察，發(fā)現(xiàn)問題，搜集數(shù)據(jù)，形成解釋，獲得答案并進(jìn)行交流、檢驗的學(xué)習(xí)過程.

在講完求差比較法證不等式后可做如下練習(xí).

例5 已知a,b∈R，求證a2+b2+1≥ab+a+b.

大部分同學(xué)都是用求差比較法證明的.

讓學(xué)生探究有無其他證法？

有學(xué)生在用求差比較法時用不同的配方方法.

有學(xué)生用均值不等式證明.

法三：由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,a2+b2≥2ab,三式相加得a2+b2+1≥ab+a+b.

有學(xué)生從函數(shù)的角度考慮得到如下證法.

法四：令f(a)=a2-(b+1)a+b2-b+1,由于Δ=(b+1)2-4(b2-b+1)=-3(b-1)2≤0,故f(a)≥0，即a2+b2+1≥ab+a+b.

課堂的引導(dǎo)與思考激發(fā)了學(xué)生濃厚的探究欲望和興趣，課后學(xué)生再相互交流與聯(lián)想還得到了一種證法.

5.注重系統(tǒng)與滲透

(1)倡導(dǎo)結(jié)構(gòu)教學(xué)

(2)立足全面滲透

“八方聯(lián)系,渾然一體;漫江碧透,魚翔淺底”,是已故著名數(shù)學(xué)特級教師孫維剛先生教學(xué)觀的生動描述. 孫維剛先生認(rèn)為,數(shù)學(xué)教學(xué)要站在系統(tǒng)的高度,每個數(shù)學(xué)概念、定理、公式等知識的教學(xué),都要在見樹木更見森林,見森林才見樹木的聯(lián)系狀態(tài)下進(jìn)行.在不等式的教學(xué)中要把不等式的知識與方法滲透在每一個章節(jié)中，貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的全過程.必修1的第一章集合、第二章函數(shù)、第三章函數(shù)應(yīng)用可滲透不等式的解法，必修2的直線與圓可在最值問題中滲透不等式的解法，必修3的第三章概率可結(jié)合不等式設(shè)計問題，必修4 的三角函數(shù)與三角恒等變換及平面向量中可自然結(jié)合不等式的解法與證明，必修5的數(shù)列與解三角形也自然的可與不等式聯(lián)系在一起，……，總之，不等式可以說是無孔不入、無處不在.

總之，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)要結(jié)合于每一個教學(xué)活動中，融合于教學(xué)的每一塊具體內(nèi)容當(dāng)中.