構建樸實、簡約、本真、靈動的數學課堂
——“三角函數的周期性”教學的實踐與思考

江蘇省常熟市滸浦高級中學 (215512) 殷偉康

2016年12月常熟市高中課改展示活動在我校舉行，筆者實踐“構建樸實、簡約、本真、靈動的數學課堂”常熟市高中數學教學理念，在高一年級開設了一節公開課《三角函數的周期性》，現將教學實踐中的感悟與思考，與大家交流與分享.

一、創設情境，引入課題

情境1：一個學期有一百二十多天，為什么我們班的課程表卻只列出了五天的課程？

生：因為從周一到周五，每周的課程都是一樣的，所以沒有必要列出每天的課程.

情境2：轉動的摩天輪，任意一點P的位置轉動一圈以后回到原來的位置.

問題1：你能舉出我們生活中一些“周而復始”的例子嗎?

生：每天太陽的升起與落下；春夏秋冬，四季交替出現；每周的星期一至星期日；地球的自轉、公轉，潮汐現象；鐘表上時針、分針和秒針的轉動；物理學中的單擺和彈簧振子的振動.

問題2：你能舉出數學中某些現象“周而復始，重復出現”的例子嗎?

設計意圖：從學生最熟悉的課程表入手，可以自然地引出課題.通過生活中周期現象，概括出其本質特征——“周而復始”.這樣的教學設計，既有助于實現從自然現象到數學現象的遷移，又有利于學生獲取心理邏輯的自然.

二、學生活動，體驗數學

問題3：我們以正弦函數為例，怎樣解釋這種周而復始的現象呢？

從形的角度看：當動點P每旋轉一周，正弦線MP的即時位置和變化方向重復出現一次.同時還可以看到，當點P每旋轉不到一周時，正弦線MP的即時位置包括變化方向不會重復.

問題4：若記f(x)=sinx，你能用數學語言描述正弦函數的這種特征嗎？

從數的角度看：sin(x+2π)=sinx，sin(x+4π)=sinx，….

師：你能用一個類似于刻畫函數的奇偶性的式子來描述正弦函數的這種特征的呢？

生：f(x+2π)=f(x)，f(x+4π)=f(x)，….

問題5：觀察上述等式，你能發現什么規律？

師生共同提煉得出：從數的角度看來解釋上述等式，這組公式表明：對定義域中的任意x而言，每增加2π，x+2π與x的同名三角函數值相等．也就是說，當自變量x增加2π時，相應的三角函數值重復出現．

問題6：把上述等式推廣成函數的一般形式是怎樣的？

師：很好！那如果把這個結論再推廣到一般化，比如每個間隔不是2π，而是一般的實常數T，那這個實常數T有什么要求嗎？上述對應的等式又是怎樣的呢？

生：實常數要求非零，否則就沒有研究的價值．一般化的式子是f(x+T)=f(x).

如何解釋上述等式？進一步提煉，可以得到“自變量x每間隔相同的一個非零常數T，函數y=f(x)的值就會重復出現”是上述問題的共同特征，也就是函數的一種本質屬性即周期性.

一般地，我們把具有這種周而復始的性質稱之為三角函數具有周期性，這就是這一堂課我們所要研究的———(三角)函數的周期性．

設計意圖：引導學生先從熟悉直觀的“形”去觀察，又運用抽象的“數”來刻畫正弦函數線“周而復始”現象.讓學生從數和形的角度去體會“x每增加一定值，函數值重復出現”中的“一定值”和“函數值重復”的含義，以加深對三角函數周期的本質理解，同時也為抽象周期函數的定義的獲得做好鋪墊.這樣的教學設計，有利于學生從本質上主動構建周期函數概念.

三、本真探究，建構數學

問題7：你能夠從數和形的角度去理解周期T嗎？

從數的角度看：T滿足f(x+T)=f(x)，T是自變量的改變量，即對x而言,每增加T，f(x)的值就重復出現；從形的角度看：它們的圖像應該是“周而復始”、“循環重復”出現，T就是一個循環的長度．

例1 判斷下列語句的真假：

(2)sin(x+0)=sinx,所以0是y=sinx的周期；

(3)sin(x+4π)=sinx，所以4π是y=sinx的周期；

問題8：怎樣說明(證明)一個函數不是以T為周期的函數？

生：存在定義域內的一個值x0，使得f(x0+T)≠f(x0)，則T一定不是函數f(x)的周期．

問題9：2π是正弦函數的周期，根據周期定義，還能找到類似的周期嗎？一個周期函數的周期有多少？

由誘導公式可知sin(x+2kπ)=sinx，正弦函數f(x)=sinx是周期函數，其周期為2kπ(k∈Z且k≠0).

問題10：余弦函數f(x)=cosx和正切函數g(x)=tanx也是周期函數嗎？若是，請找出它們的周期；若不是，請說明理由.

生：由誘導公式可知：cos(x+2kπ)=cosx，余弦函數f(x)=cosx也是周期函數，其周期為2kπ(k∈Z且k≠0)；由誘導公式可知tan(x+kπ)=tanx，正切函數g(x)=tanx也是周期函數，其周期為kπ(k∈Z且k≠0).

問題11：一個周期函數的周期有無數個，這樣計算三角函數周期時，答案就不唯一了，怎么辦？

生：正弦函數f(x)=sinx、余弦函數f(x)=cosx都是周期函數，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它們的周期，它們的最小正周期都是2π．從三角函數線看，終邊至少要轉1圈才能回到原來的位置，正弦線、余弦線才重復出現.

而g(x)=tanx的周期為kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期都是π。終邊只要轉半圈，正切線就重復出現了.

師：很好．關于正弦函數的周期是2π的嚴謹證明，同學們可以課后去看書后的鏈接內容，并仿照其嘗試證明余弦函數與正切函數的周期.

(2)最小正周期

對于一個函數f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數，那么這個最小正數叫f(x)的最小正周期．

說明：我們所說的周期，今后如果不加特別說明，一般都指函數的最小正周期．

生(提問)：周期函數是否有最大負周期？

經過探究、討論，發現有些周期函數有最大負周期，有些周期函數沒有最大負周期.

設計意圖：概念辨析的目的是更深刻地理解數學概念的本質屬性，屬于數學概念建構的一部分.通過正、反例的辨析，澄清學生對函數周期性概念的一些模糊甚至錯誤認識，強化學生對周期概念的本質屬性的理解.有意識地引導學生從數與形的角度去理解和構建最小正周期的概念.

四、數學運用，深化概念

圖8

例2 若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)之間的函數關系如圖所示．

(1)求該函數的周期；

(2)求t=10s時鐘擺的高度．

組織學生圍繞以下問題展開討論：

(師生共同討論，完成解答)

師：這個圖給你的直覺是什么？根據這個圖你能得到哪些信息？

生：我覺得這是一個周期函數的圖像.根據圖像，可以得出這個函數的周期，還有一些函數值.

師：周期函數的圖像具有什么特征？

生：(1)由圖像可知，該函數的周期為1.5s；

師：周期性的用途是什么？你覺得由你讀出的信息，還可以繼續得到些什么？能否根據周期性找到t=10s時鐘擺的高度？

生：(2)設h=f(t)，由函數f(t)的周期為1.5s，可知f(10)=f(1+6×1.5)=f(1)=20，

所以t=10s時鐘擺的高度20mm．

師：如果知道了一個函數是周期函數，那么要研究整個定義域上的性質，就只要研究一個周期上的性質．用類比的方法，可知由一個周期上的性質就可以推知其它周期上的性質．

例3 求下列函數的周期：

師：如何求函數的周期？(大家覺得求函數周期的依據是什么？)

生：周期函數的定義．

解析：(1)設f(x)的周期為T，則f(x+T)=f(x)，即cos(2x+2T)=cos2x對任意x∈R都成立，令μ=2x，即cos(μ+2T)=cosμ對任意μ∈R都成立.而y=cosμ的周期為2π，可知使得cos(μ+2T)=cosμ對任意μ∈R都成立的2T的最小正周期2π，可知2T=2π，即T=π，函數f(x)=cos2x的周期是π．

師：非常漂亮，從公式、定義入手，輕松求解.僅學會模仿求解還是不夠的，你能命制一道或幾道類似試題嗎？同桌的兩人互相合作，一人命題一人解答，如何？(課堂氣氛異常活躍)

設計意圖：如令μ=2x，將余弦函數f(x)=cos2x的周期問題化歸為余弦函數y=cosμ的周期問題，即實現了將需要解決的新問題化歸為已解決問題的目的.這樣的探究，不僅有利于學生加深對周期函數概念的理解，而且有利于學生學會如何運用函數周期概念解題.

通過觀察例3的2道小題、例4及同學們自主編寫試題的結果，引導學生歸納出：

設計意圖：通過“問題鏈”的形式的探究，由特殊到一般，歸納出一般化的結論.引導學生參與自主編題、解題，培養學生的創造性思維.

五、回顧反思，歸納提煉

問題16：這節課我們主要探討的內容是什么？我們可以總結出什么內容？

周期函數的定義和最小周期的定義；周期的求法；周期的求解過程中體會到了哪些方法？特殊到一般、數形結合、換元法、轉化與化歸等思想方法.

師：通過對周期函數的研究發現，只要研究它在一個周期段上的性質，就可以知道整個定義域上的性質了，從個體到全體，從有限到無限，體現了數學研究的巨大魅力和威力，也證實了研究周期函數的巨大價值.

設計意圖：通過問題啟發式進行小結，對所學內容再思考，能起到再現、整合和提煉的作用.讓學生理清知識體系，揭示其中的數學思想方法、本質規律，內化為學生素質，同時讓學生感受到數學研究的價值.

六、教學反思，探究本真

1．順應學生的認知規律，讓數學概念教學更自然

人教A版教科書在“主編寄語”中寫道：“數學概念、數學方法與數學思想的起源與發展都是自然的.如果有人感到某個概念不自然，是強加于人的，那么只要想一下它的背景、它的形成過程、它的應用，以及它與其他概念的聯系，你就會發現它實際上是水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味.”周期現象在自然界中比比皆是，如每年四季更替，潮起與潮落等，讓學生充分感知生活中存在大量周期現象，并從中抽象概括出其本質特征——“周而復始”.“我們以正弦函數為例，怎樣解釋這種周而復始的現象呢？”便引導學生自然地進入數學領域.隨著單位圓中正弦線隨角的變化，直觀地感知“每間隔2π個單位，角的終邊重合，正弦函數值重復再現”.引導學生從數和形角度進行分析，發現角每增加2π時，就會出現角的終邊的重合(形的直觀)，正弦函數值相等(數的定量刻畫)，這為探究周期函數概念的形成獲取了邏輯起點.這樣的探究過程，體現了生活現象與數學知識自然結合.其中，用自然現象和數學實例作為“周期”的意象表征，讓學生感受用數學術語刻畫這些現象的必要性，這樣的探究顯得樸素自然，更符合學生的認知規律.誘導學生從sin(x+2π)=sinx，sin(x+4π)=sinx，…，到f(x+2π)=f(x)，f(x+4π)=f(x)，…，再到f(x+T)=f(x)，形成一個逐級逐步抽象、概括的過程.在這個過程中，周期函數的概念生成是自然的.

2．創設本真的簡約課堂，讓學生探究體驗更真實

樸素的才是自然的，真實的才是永恒的.在數學概念的教學過程中，教師要把實驗與觀察，比較與類比，分析與綜合，具體與抽象，特殊與一般，猜想與證明等探究的思維活動真切地還給學生，讓學生體驗數學概念學習就是把一些特定的數學對象通過去粗取精、去偽存真的思維加工過程，通過“樸素直觀”到“精致抽象”的過程.對于例題3第(1)小題，由條件和目標聯系到周期函數的定義，即尋找非零常數T，使得cos2(x+T)=cos2x對任意x∈R都成立，再利用變量代換，從而問題得以解決.再引導學生，進行變式拓展研究，并歸納總結出一般周期函數的周期公式.這樣的教學設計更多考慮學生參與探究活動，讓學生經歷由正弦函數線的變化規律歸納出周期函數概念的過程，體驗從特殊到一般再到特殊的探究過程，從而感受研究函數性質的一般方法.這種追求具有本質意義的數學探究活動，使數學探究活動教學“形似”真正走向“神似”，凸現其本質，讓探究教學回歸到它的本真之地.

3．揭示數學的本質特征，讓學生的思維更靈動

數學本質就是用數學的眼光認識世界，揭示數學規律，總結數學方法，形成數學思想.其內涵一般包括：數學知識的內在聯系；數學規律的形成過程；數學思想方法的提煉；數學理性精神的體驗等方面.從周期性的提出、周期函數概念的形成、周期函數的建立到三角函數周期的計算，每一個內容的形成過程中，學生都在自覺運用數形結合、換元法、轉化與化歸等數學思想方法，同時又產生新的數學思想方法，正是在運用這些數學思想方法去解決問題的過程中，學生才真正感悟、理解數學思想方法的內涵.通過數形結合、抽象概括出周期函數概念后，引領學生構建刻畫三角函數周期性的特征，促使學生思維深層參與.并進行正、反例的辨析，引導學生對概念進行理性思考，讓學生思維走向深入，從而把握周期函數概念的本質屬性，獲得對概念的本質理解.在構建最小正周期的過程中，學生思維很活躍，能夠類比地提出“周期函數是否有最大負周期？”，這是難能可貴的，有利于培養學生質疑、批判等理性思維.在研究例題3和例題4過程中，引導學生運用整體換元方法，將比較復雜、陌生的問題轉化成熟悉的問題加以解決.由特殊到一般，歸納出一般性的規律和結論.教師要準確把握知識背后所蘊含的數學思想方法，把握學生思維發展水平和學習過程中面臨的思維障礙，引導學生自然地突破難點，讓學生在探究中逐步提升數學素養.

著名特級教師吳鍔認為：遵循教學規律，從學生認知特點出發，順應學生思想意識，通過數學活動，獲得經驗積累，自我構建數學知識，拓展空間，讓探究成為習慣，讓學生的思維更靈動，是一節樸實、厚重、靈動的本真課堂．

[1]鈕兆嶺.讓概念教學變得更自然些——“三角函數的周期性”案例分析[J]．中國數學教育,2011(5)：13-15，35．

[2]杜芬.“三角函數的周期性”教學實錄與反思[J]．上海中學數學,2015(9)：33-35，37．