基于支架式教學的“任意角”教學案例及反思

江蘇省蘇州工業園區第二高級中學 (215121) 南愛玲

三角函數是蘇教版必修4第一章的內容，江蘇省普通高中數學課程標準中對這一章的要求是“通過三角函數的教學，使學生逐步理解三角函數的概念及基本性質；認識三角函數與實際生活的緊密聯系；體會三角函數在解決具有周期變化規律問題中的作用.”而“任意角”是本章的第一節內容，通過本節課的學習能夠了解任意角的概念，理解終邊相同的角的意義，為后續三角函數的學習做好準備，在本章內容中占有基礎性的地位.

建構主義理論的核心是以學生為中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構.教師在實施教學活動的過程中，應該以學生為主體，教師為主導，激發學生的學習熱情，讓學生自主探究合作，注重概念的生成過程.支架式教學法是基于建構主義學習理論提出的一種以學習者為中心，以培養學生的問題解決能力和自主學習能力為目標的教學法.該教學法是指一步一步地為學生的學習提供適當的、小步調的線索或提示(支架)，讓學生通過這些支架一步一步的攀升，逐漸發現和解決學習中的問題，掌握所要學習的知識，提高問題解決能力，成長為一個獨立的學習者.

支架式教學由以下幾個環節組成：(1)搭腳手架；(2)進入情境；(3)獨立探索；(4)協作學習；(5)效果評價.本節課按照支架式教學流程設計，形成概念時，從日常生活中的時鐘快慢問題引入，設置熟悉的問題情境，使學生對已有關于角的知識產生認知沖突，引出角的動態定義，同時強化了這一概念引入的必要性和現實意義；在終邊相同的角的集合的書寫中，采用學生協作學習交流的形式，讓學生自己探索發現其規律，學生體驗發現的樂趣，獲得了成功的情感體驗.在數學應用中，學生更加主動熱情的“學以致用”，源于他們獲得了一種被鼓舞和信任的情感體驗，在這種狀態下學生的學習更加高效.下面是筆者的課堂教學實錄以及課后的一些思考.

一、課堂實錄

(一) 創設情境 導入課題

師拿出一面鐘，第一節課是一點半，但是鐘面顯示的是一點二十五分.

師問：慢了5分鐘，怎么校準？

生答：順時針旋轉5分鐘.

再問：校準后分針轉了多少度？

稍加思索，學生就答出來：30°.(板書：順時針旋轉30°.)

師問：如果我現在要把時間調到12點整，怎么辦？分針又轉了多少度？

生答：逆時針轉1圈半，轉了360°又轉了180°，好像是540°.(說到540°的時候，學生的聲音明顯小了不少，帶著一種不確定和懷疑)

師：根據我們初中的知識，最大的角是周角，360°，這里怎么會有540°呢？540°是什么意思呢？這就是我們本節課要研究的內容—任意角(板書：任意角)，通過本節課的學習，我們不僅知道有540°的角，還有更大的角，甚至還有負角.

設計意圖：數學課程標準中指出：“數學教學，要緊密聯系學生的生活實際，從學生的生活經驗和已有的知識出發，創設生動有趣的情境......”，本節課通過生活中學生非常熟悉的時鐘引入，為角的動態定義埋下伏筆.第一小問讓學生明確順時針，逆時針方向；第二小問逆時針旋轉一圈半得到540°，在學生中形成認知沖突，激發學生的學習熱情，帶著疑問上課.

(二)推陳出新 形成新知

師：首先請同學們回憶一下，初中我們學習的角是如何定義的？

生：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，

師：根據這個定義如何來表示540°的角呢？

(頓了一下，學生紛紛搖頭)：不好表示.

師：這個定義已經out了，因為它只關注結果，而我們不僅要關注結果還要關注過程.根據剛才的例子我們對角重新進行定義：(板書：1.角的定義)平面內一條射線繞著它的端點從一個位置旋轉到另一個位置所形成的圖形叫做角.以O為頂點的射線OA，旋轉到OB形成角α，這樣角就動起來了.其中O叫角α的頂點，OA叫角α的始邊，OB叫角α的終邊.

師：既然角是旋轉形成的，在剛才調整時鐘的過程中，有順時針調整和逆時針調整，這種相反的量我們以前碰到過嗎？

生齊答：有，正數和負數！

師：我們類比實數的正負，規定：逆時針形成的是正角，順時針形成的是負角，不作旋轉的是零角.(板書：2.角的分類)回到時鐘快慢的問題:順時針就是-30°，逆時針就是+540°.

設計意圖：有了前面的問題情境，角的動態定義就很自然地引了出來，根據定義再完善問題情境中的順時針30°和逆時針540°，前后呼應，進一步強化對角的概念的理解.蘇聯心理學家維果斯基認為，學生有兩種發展水平：一是學生的現有水平，二是即將達到的水平，表現為“學生還不能獨立地完成任務”，這兩種水平之間的距離，就是“最近發展區”.學生對靜態的角已經有了一定的認識，而現在形成了新的概念，讓角“動”起來了.

師：好，現在請問你腦海中最大的角是多少？最小的角又是多少？

生遲疑片刻，答：角可以無限大，也可以無限小.

師：(以時鐘展示)以時鐘的中心和3點位置所在射線為始邊，分針不做旋轉時是零度，逆時針開始旋轉角為正，慢慢變大，逆時針轉一圈回到始邊是360°，繼續轉下去角變大.如果從初始位置順時針旋轉角為負，慢慢變小，順時針轉一圈回到始邊是-360°.繼續轉下去角變小.在這個定義之下我們就將角推廣到了任意角.

設計意圖：這一過程展示筆者認為必不可少，是本節課的第一個重點，讓學生弄清楚角是如何從他們熟知的幾個具體的角推廣到任意角的，對角的動態概念有了進一步的理解.

(學生活動)請兩位同學板演：畫一個30°的角，其他同學自己在紙上畫.

點評：他們畫的角都是30°，但是因為始邊不同，所以這個角的位置就各不相同.為了便于研究，我們利用平面直角坐標系以x軸非負半軸為始邊，終邊落在第幾象限就叫第幾象限角.(板書：3.象限角)筆者建立了平面直角坐標系，畫了60°和-30°兩個角，并讓學生判斷這兩個角是第幾象限角.

師：在這樣的規定下，角的終邊位置還有其他可能嗎？

(補充終邊落在坐標軸上的角叫軸線角，畫了0°，90°，180°和270°.)

概念辨析：(1) 銳角是第一象限角嗎？

(2)第一象限角一定是銳角嗎？

(3)小于360°且不等于0°的角一定是銳角嗎？

設計意圖：通過學生活動，畫出各個不同位置的30°角，說明統一始邊的必要性.此處介紹了0°到360°范圍內的軸線角，為后面在0°到360°的范圍內找終邊相同的角并判斷第幾象限角作鋪墊，同時剛學習了一個新的概念，教師畫角給學生做一個示范，軸線角的補充讓學生體會數學思維的嚴謹性，概念辨析進一步加深學生對角的概念的理解.

(三)合作探究 建構數學

(用PPT課件展示例1)

例1 ①如圖(1)(2)中的角分別屬于第幾象限角？

②指出PPT中畫出的角是多少度？

(略)

例2 在直角坐標系中，作出下列各角，并指出它們是第幾象限的角．

(1)60°;(2)-150°;(3)210°;(4)420°;

(5)-60°;6)-300° .(學生畫圖，教師利用實物投影展示學生的作業，并點評)

小組合作探究：與60°終邊相同的角有哪些？互相有什么關系？如何表示？

(交流討論后)生答：與60°終邊相同的角有420°，-300°.它們相差360°的倍數，逆時針轉一圈加360°，轉兩圈加2個360°，順時針轉一圈減360°，轉兩圈減2個360°.

師問：這么多角能不能用一個式子來表示呢？

生：可以，60°+n·360°，n是整數，寫成集合就是{β|β=60°+k·360°,k∈Z}，與-30°終邊相同的角的集合{β|β=-30°+k·360°,k∈Z},與45°終邊相同的角的集合{β|β=45°+k·360°,k∈Z}.

師：與α終邊相同的角的集合如何呢？

生：{β|β=α+k·360°,k∈Z}.(板書)

師：恭喜你們，都會歸納推理了！請同學們思考，集合的書寫有哪些需要注意的地方呢？

生：k∈Z這個條件不能漏寫！

師：很好！這里的角α是任意角.請聽題：終邊相同的角一定相等(生齊答：不一定！)

相等的角終邊一定相同(一定！)終邊相同的角有無限個，它們的關系是？(相差360°的整數倍)

設計意圖：例1認識角，對角的定義有一個感性認識；例2學生畫角，從感性到理性，自己動手，印象深刻，加深對角的概念的理解，同時對終邊相同的角有了切身體驗，為后面的探究做好準備.終邊相同的角的表示是本節課的又一重點，通過學生合作探究，發現終邊相同的角之間的關系，探究的過程中體會發現的快樂.美國心理學研究表明，看一遍的收獲是10%，聽一遍是20%，而動手做一遍是90%，課堂是學生的學習陣地，培養學生的動手能力和探索發現的能力是數學教師的重要任務之一.

(四)習題鞏固 學以致用

例3 寫出與下列各角終邊相同的角的集合，在0°到360°范圍內，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限角．

(1)-80°；(2)580°；(3)850°30′;

(4)-950°12′．

(利用實物背投展示學生作業并加以點評)

設計意圖：例3是對終邊相同的角的概念的進一步應用，能夠熟練地判斷角是第幾象限角既是對本節課學習的知識的一個檢測，也是后面三角函數符號判斷的基礎.

(五)課堂總結 提煉升華

師：好，請同學們思考并互相交流一下，一會兒請同學來對本節課進行一個小結.

生：這節課我們學習了任意角的概念，知道角是“動”的，是旋轉形成的，逆時針旋轉形成正角，順時針形成負角.我們還學會了終邊相同的角的表示，終邊相同的角相差360°的整數倍.

師：嗯，總結的很到位.通過本節課的學習，我們了解任意角的概念，會寫終邊相同的角的集合.用到的主要數學思想方法：數形結合思想，類比法，歸納法等.

二、課后反思

支架式教學模式首先為學生創建有利于學生對所學內容的意義建構.在教學設計中，創設有利于學生建構意義的情境是最重要的環節或方面.任意角這一節，在知識目標上僅要求了解，按新課標的要求，要讓學生親自感知數學來源于生活，體驗數學概念的形成過程.本節課情境引入從生活中常見的時鐘快慢問題出發，為學生創建了良好的問題情境，從角的旋轉量和旋轉方向兩個角度做好鋪墊，有利于學生建構角的定義，迅速調動學生的思維，激起學生的學習熱情.

支架式教學模式中強調學生的協作學習，在獨立探索的基礎上合作交流，探究新知.本節課的一個重點是終邊相同的角的集合的書寫，在這一環節，教師通過設置例題，讓學生先畫出角來感受終邊相同，然后再合作交流，得出終邊相同的角的集合的書寫.通過適當的問題設置，在教師的引導提問下，通過學生自主探究，合作討論，由學生自己總結得到這一結論，筆者認為這一過程中學生獲得知識的同時也獲得了成功的學習體驗.而協作學習不僅體現在這一環節，而是滲透在整節課堂中，老師與學生的合作交流，學生與學生的合作交流，都反應了一種協作.

本節課在教師深刻理解教材的情況下，凸現學生自主探究，展現師生共同參與，互動對話，提升學生歸納總結的能力.以學生為中心，教師作為組織者，為學生提供有利于學生發展的問題情境，放手讓學生探究新知.在探究過程中，學生體驗發現的樂趣和成功的喜悅，激發了學習數學的熱情，提升了數學思維能力，這不正是數學課堂所追求的嗎？