一個(gè)不等式的簡(jiǎn)證及猜想的推廣

浙江省德清縣第三中學(xué) (313201) 王 丹浙江大學(xué)附屬中學(xué)丁蘭校區(qū) (310021) 施剛良

在給出引理的簡(jiǎn)證及命題1、命題2之前，筆者先給出有關(guān)下凸函數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：

1.若函數(shù)y=f(x)在定義域D上二階可導(dǎo)，則y=f(x)在D上為下凸函數(shù)的充分必要條件是f″(x)≥0.

2.若函數(shù)y=f(x)在定義域D上是下凸函數(shù)，則對(duì)?x1,x2,…,xn∈D，都有

注：上凸函數(shù)的性質(zhì)與下凸函數(shù)的性質(zhì)是對(duì)立的，在此筆者就不再敘述了.

下面先給出引理的簡(jiǎn)證：

著名數(shù)學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：沒(méi)有任何一個(gè)題目是徹底完成了的，總還會(huì)有些事情可以做；在經(jīng)過(guò)充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進(jìn)；而且無(wú)論如何，我們總可以深化我們對(duì)答案的理解.筆者通過(guò)進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)還可以將上述命題再推廣：

(4)當(dāng)0

證明：(3)當(dāng)k=1時(shí)，由引理知

(4)當(dāng)0

[1]周斌.一個(gè)不等式猜想的證明及推廣[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(廣東)，2010(2)：48.