曲線(A1x+B1y+C1)(A2x+B2y+C2)=D的特征與活用

浙江省寧波市北侖明港中學 (315806) 甘大旺

我們熟知，在直角坐標系xOy中，方程xy=m(常實數m≠0)表示雙曲線；進一步認知，方程(x-a)(y-b)=m(常實數m≠0)仍然表示雙曲線.再深入一個層次，筆者頓悟到：

證明：由于A1B2≠A2B1，則兩條直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0相交.取這兩條相交直線的交點(x0,y0)為新坐標原點O′，取其夾角平分線為x′軸，建立直角坐標系x′O′y′.

圖1

如圖1，存在對原坐標系xOy實施旋轉、平移的唯一復合變換

在直角坐標系x′O′y′中，方程(Ⅱ)表示雙曲線，且兩條漸近線方程是Ax′+By′=0和Ax′-By′=0.所以，回歸到直角坐標系xOy中，方程(Ⅰ)表示雙曲線，且兩條漸近線是直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0.證畢.

在上面的證明過程中，假如取兩條相交直線A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0的夾角平分線為y′軸，仍然取其交點(x0,y0)為新坐標原點O′，建立直角坐標系x′O′y′，則同理可證結論.此外，用判別式法只可識別方程(Ⅰ)表示雙曲線.

下面列舉兩例，顯示定理1的實用價值.

例1 (2014年南開大學數學試點班自主招生題)設P為曲線2x2-5xy+2y2=1上的動點，求點P到原點距離的最小值.

聯立y=x與2x2-5xy+2y2=1構成方程組，代入消去y得x2=-1，這自相矛盾，舍去；

評注：①雙曲線的對稱中心到其上動點的最小距離等于對稱中心到其頂點的距離；②雙曲線的頂點在兩條漸近線夾角的內角平分線或外角平分線上.

例2 (2017年清華大學首次高中生標準學術能力測試數學題)已知實數x、y滿足5x2-y2-4xy=5，則2x2+y2的最小值等于( ).

圖2

回顧例1、例2解題過程的開始兩步變式，不難推測并運用定理1驗證得到：

推論在定理1的相同條件下，二次方程(A1x+B1y+C1)2-(A2x+B2y+C2)2=D表示雙曲線.

將此推論類比到橢圓和拋物線中去思考，容易拾遺并可驗證一個相伴結論：

定理2 在定理1的相同條件下，二次方程(A1x+B1y+C1)2+(A2x+B2y+C2)2=D、(A1x+B1y+C1)2=A2x+B2y+C2(其中D>0)分別表示橢圓或圓、拋物線.