例析高考中的復合最值問題

浙江省金華市第六中學 (321000) 虞 懿

在最值問題中，常常會遇到最大值和最小值相互嵌套在一起的問題，我們稱之為復合最值問題．本文采擷幾道高考中出現過的復合最值問題并予以深度解析，旨在探索題型規律，歸納求解策略．

策略1數形結合

數形結合是一種重要的數學方法，在處理基本函數的復合最值問題時有廣泛的應用，可分別作出幾個基本函數的圖像，由圖像直接求出函數的最值．

圖1

例2 (2009年高考海南、寧夏卷理12)用min{a,b,c}表示a,b,c三個數中的最小值．設f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為( ).

(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

圖2

解析：畫出y=2x,y=x+2,y=10-x的圖像，如圖2所示，當0≤x≤2時，f(x)=2x；當2≤x≤4時，f(x)=x+2；當x>4時，f(x)=10-x．所以fmax(x)=f(4)=6，故選C．

例3 (2013年高考遼寧卷理11)已知函數f(x)=x2-2(a+2)x+a2,g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8．設H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=

min{f(x),g(x)},(max{p,q}表示p,q中的較大值，min{p,q}表示p,q中的較小值)，記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=( ).

(A)16 (B)-16

(C)a2-2a-16 (D)a2+2a-16

解析：由題意知當f(x)=g(x)時，即x2-2(a+2)x+a2=-x2+2(a-2)x-a2+8，整理得x2-2ax+a2-4=0，所以x=a+2或x=a-2，所以H1(x)=max{f(x),g(x)}=

H2(x)=min{f(x),g(x)}=

結合圖形(略)可知，A=H1(x)min=-4a-4,B=H2(x)max=12-4a，則A-B=-16，故選B．

策略2分類討論

復合最值問題一般包含內外兩個層次,當內層關系看不清楚又不宜直接入手時,進行分類討論是一種行之有效的辦法．

例4 (2015年高考浙江卷理18)已知函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R),記M(a,b)是|f(x)|在區間[-1,1]上的最大值．證明：當|a|≥2時，M(a,b)≥2．

當a≥2時，由f(1)-f(-1)=2a≥4，得max{f(1),f(-1)}≥2，M(a,b)≥2；當a≤-2時，由f(-1)-f(1)=-2a≥4，得max{f(-1),

-f(1)}≥2，M(a,b)≥2.

綜上，當|a|≥2時，M(a,b)≥2．

評注：分類討論的最大優點在于各個擊破，通過分類討論使得一些本來困難的求解過程變得簡潔明了．

例5 (2015年高考湖北卷文17)a為實數，函數f(x)=|x2-ax|在區間[0,1]上的最大值記為g(a)．當a= 時，g(a)的值最小．

評注：將含絕對值的二次函數在區間上的最值問題和分段函數的最值問題融合在一起，運用分類討論的思想將含絕對值問題轉化為分段函數的問題，充分體現了分類討論和化歸轉化的數學思想，能較好地考查知識綜合能力.其解題的關鍵是運用分類討論求出g(a)的表達式和分段函數在區間上的最值求法.

解析：(Ⅱ)(ⅰ)設函數f(x)=2|x-1|，g(x)=x2-2ax+4a-2，則f(x)min=f(1)=0，g(x)min=g(a)=-a2+4a-2，所以，由F(x)的定義知m(a)=min{f(1),g(a)}，即

(ⅱ)當0≤x≤2時，F(x)≤f(x)≤max{f(0),f(2)}=2=F(2)；當2≤x≤6時，F(x)≤g(x)≤max{g(2),g(6)}=max{2,34-8a}=max{F(2),F(6)}．

評析：(Ⅱ)(ⅰ)先求函數f(x)=2|x-1|，g(x)=x2-2ax+4a-2的最小值，再根據F(x)的定義可得F(x)的最小值m(a)；(ⅱ)分別對0≤x≤2和2≤x≤6兩種情況討論F(x)的最大值，進而可得F(x)在區間[0,6]上的最大值M(a)．

后記：高考數學試題在解題方法上強調“通性通法”，這也是近些年高考數學命題的重要出發點．具體表現為數學解題方法的常規化和大眾化，數學解題方法避開生僻的解題技巧和獨門技巧，提倡通性通法的解題理念．高考數學試題的解題方法多種多樣，以“通法”為主，既包括了常規的解題思路又囊括了精妙簡單的解題方法．可以通過對高考試題解題方法的研究來逐步培養學生在數學領域的學習興趣，提高學生的數學解題能力．