數(shù)形結(jié)合思想在高中物理解題中的應(yīng)用

楊浩哲

（湖南省長沙市明德中學(xué)，湖南長沙 410000）

引 言

在物理的學(xué)習(xí)過程中，我們會(huì)經(jīng)常遇到很多物理量與物理圖形，“數(shù)”意指物理量，“形”意指用圖形表達(dá)變量之間的關(guān)系圖。很多物理量之間的關(guān)系，不僅可以采用公式來表示，還可以運(yùn)用圖形來表達(dá)[1]。

一、數(shù)形結(jié)合思想在物理解題過程中的體現(xiàn)

數(shù)形結(jié)合思想主張?jiān)诮忸}的具體過程中通過數(shù)據(jù)與圖形之間的轉(zhuǎn)換，實(shí)現(xiàn)解題過程的清晰化、簡單化。數(shù)據(jù)可以通過圖形的樣式來體現(xiàn)，圖形可以使數(shù)據(jù)變量更加形象化；圖形又可以通過數(shù)據(jù)的高低多少來表達(dá)，數(shù)據(jù)能夠使得圖形中表達(dá)的數(shù)據(jù)更加準(zhǔn)確，該方法能夠幫助我們在解題的過程中提高解題效率[2]。

數(shù)形結(jié)合思想最大的好處就在于能幫助我們解決計(jì)算量大且煩瑣的問題，用簡潔明了的圖形表示出來。例如：

甲乙兩人在長為L=84 m的游泳池里沿直線游泳，甲的速率V1=1.4 m/s，乙的速率V2=0.6 m/s，他們同時(shí)從水池的兩端出發(fā)，來回共游了時(shí)間t=25 min，如果不計(jì)轉(zhuǎn)向的時(shí)間，那么在這段時(shí)間內(nèi)他們共相遇了幾次？若他們同時(shí)從同一端出發(fā)，那么在上述時(shí)間內(nèi)，他們共相遇了幾次？

設(shè)甲、乙二人從游泳池的一端游到另一端所用時(shí)間分別為 T1、T2，

則T1=L/V1=84/1.4 s=60 s=1 min，

T2=L/V2=84/0.6 s=140 s=7/3 min，

比較 T1、T2可得：7T1=3T2，

所以經(jīng)14T1（或6T2）即14 min時(shí)間甲、乙第一次同時(shí)回到各自的出發(fā)點(diǎn)。

以甲的出發(fā)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)：

（1）甲、乙二人同時(shí)分別從游泳池的兩端出發(fā)，則甲、乙二人的s-t圖線分別如圖1中實(shí)線和虛線所示。

圖1

在0～25 min時(shí)間內(nèi)兩圖線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為甲、乙二人的相遇次數(shù)。

由圖像可得，在0～14 min時(shí)間內(nèi)二人相遇14次，由于14 min時(shí)兩人同時(shí)回到各自的出發(fā)點(diǎn)，故14～25 min時(shí)間內(nèi)二人重復(fù)0～11 min時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，相遇11次，所以25 min時(shí)間內(nèi)二人共相遇25次。

（2）若甲、乙二人同時(shí)從同一端出發(fā)，用圖像法亦可求得二人在25 min時(shí)間內(nèi)共相遇21次。

甲、乙二人的s-t圖線分別如圖2中實(shí)線和虛線所示（解答過程不再累述）。

圖2

當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合也不僅限s-t圖的應(yīng)用，用一些巧妙的幾何圖形也能快速解決物理問題，介紹一個(gè)有趣的定理：等時(shí)圓。

設(shè)一個(gè)圓O，A是圓O的最高點(diǎn)，X是圓上任意一點(diǎn)，一物體從A開始，沿AX下滑到X，所用的時(shí)間是相等的，都是從A自由落體到圓最低點(diǎn)用的時(shí)間。例如，從A到C所用的時(shí)間等于A到D所用時(shí)間，也等于從A到B（從A開始的自由落體運(yùn)動(dòng)）所用時(shí)間。如圖3。

反之，將圓O倒置，亦成立。

圖3

有了這個(gè)性質(zhì)，許多問題如比較運(yùn)動(dòng)時(shí)間長短之類的問題就變成了幾何問題中尋找R值的問題。

例如，兩光滑斜面的高度都為H，OC、OBD的總長度均為L，只是OBD由兩個(gè)斜面連接而成，如圖4所示，將甲、乙兩個(gè)相同的小球從斜面的頂端O同時(shí)由靜止釋放，不計(jì)拐角的能量損失，問哪個(gè)球先到達(dá)斜面底端？

圖4

本題的一般解法是用v-t圖來討論求解，但v-t圖中的面積表示的是位移，而OC、OBD兩斜面的長度相等，小球運(yùn)動(dòng)的路程相等，位移并不相等。因此要把v-t圖理解為速率-時(shí)間圖像。圖線包圍的面積表示的是路程。總之，解釋起來頗費(fèi)口舌。

我們可以構(gòu)建如圖5所示的等時(shí)圓，交OC于A點(diǎn)，交OB于B 點(diǎn)，由等時(shí)圓可知，Tob=Toa，由機(jī)械能守恒定律，有VB＞VA，VC=VD，所以VBD＞VAC，又因?yàn)閮尚泵娴目傞L度相等，故XBD＜XAC，根據(jù)v=s/t得，TBD＜TAC，所以有T乙＜T甲，即乙球先到達(dá)斜面的底端。

圖4

二、物理解題中采用數(shù)形結(jié)合思想對高中學(xué)生的要求

由前文可知，數(shù)形結(jié)合思想在物理解題的過程中很重要。在具體的學(xué)習(xí)過程中，例如，位移具體是指物體從最初的位置移動(dòng)到第二個(gè)位置的運(yùn)動(dòng)，如果做出物體位移的有向線段圖就能夠更加直觀地理解位移的概念，有向線段可以直觀地呈現(xiàn)時(shí)間、距離、速度之間的關(guān)系。再如，在對動(dòng)能定理的推導(dǎo)過程中，恰當(dāng)?shù)膱D形能夠幫助學(xué)生更加直觀地看出狀態(tài)的改變，理解狀態(tài)量與過程量之間的邏輯關(guān)系。同時(shí)，數(shù)形結(jié)合的方法還能夠清晰地反映出各個(gè)矢量的方向與大小。很多結(jié)合圖形來解答的題目是出題者比較青睞的對象。

結(jié) 語

在具體的解答與應(yīng)用過程中，需要我們具有以下的能力：要做到會(huì)識(shí)別圖形，明白圖形所包含的物理意義；要學(xué)會(huì)構(gòu)造圖形，能夠根據(jù)題目中傳遞的信息畫出對應(yīng)的圖形，并且能夠?qū)D形進(jìn)行轉(zhuǎn)換；要會(huì)用圖，能夠采用圖形分析具體邏輯過程，用圖形解決具體的問題。在具體解答的過程中，需要我們自己去辨別，結(jié)合恰當(dāng)?shù)膱D形去解題。同時(shí)，還要求我們在解題的過程中有數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。

[1] 王丹陽.數(shù)形結(jié)合思想在高中物理解題中的應(yīng)用[J].科學(xué)大眾(科學(xué)教育),2016,(01):22.

[2] 蔡冬蓮.數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用分析[J].低碳世界,2016,(22):273-274.