基于GARCH模型的滬深300指數(shù)VaR計(jì)算

向君幸+陳麗+王曉彤??

摘 要：針對(duì)VaR和CvaR方法的局限性，運(yùn)用GARCH及其衍生模型，以深滬300指數(shù)為例，計(jì)算出其VaR值，并對(duì)模型計(jì)算出的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，以及事后檢驗(yàn)。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，該模型能有效地刻畫(huà)出指數(shù)的風(fēng)險(xiǎn)情況。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險(xiǎn)投資組合；GARCH；VaR

如今，經(jīng)濟(jì)全球化與經(jīng)濟(jì)一體化使得各國(guó)的經(jīng)濟(jì)交流的日益密切，國(guó)際金融市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)也越來(lái)越大。如何實(shí)現(xiàn)合理有效的金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)的管理與度量，也便成為了世界各國(guó)金融研究的新方向。

Engle于1982年提出了ARCH模型，使用自回歸的方法提取誤差平方序列中蘊(yùn)含的相關(guān)信息。由于此方法存在一些不足，T.Bollerslev在1986年提出了改進(jìn)方法——GARCH模型。GARCH模型在ARCH模型基礎(chǔ)上，對(duì)誤差的方差進(jìn)行了進(jìn)一步的建模。GARCH模型十分適用于波動(dòng)性的分析、預(yù)測(cè)，對(duì)金融投資者的決策起到非常重要的指導(dǎo)性作用。

一、 VaR的定義及其計(jì)算方法

1. VaR的一般計(jì)算方法

Jorion認(rèn)為VaR是給定置信水平和目標(biāo)時(shí)段下預(yù)期的最大損失。VaR的定義：VaR1-α（X）=-inf{x|P[Xα}。

其中VaR1-α（X）表示1-α置信水平下的VaR值，X是金融資產(chǎn)的損益。

考慮一個(gè)證券組合，假設(shè)p0為證券的初始價(jià)值，p是從初始狀態(tài)開(kāi)始后某一時(shí)刻的價(jià)值，R是持有期內(nèi)投資的收益率，p*是證券的最低價(jià)值。

那么相對(duì)VaR的計(jì)算方法：

VaRR=E（p）-p*=-p0（R*-μ）。（1）

R*是證券的最低收益率。

絕對(duì)VaR的計(jì)算方法：

VaRA=p0-p=-p0R*。（2）

假定收益率服從正態(tài)分布的，即R～N（μ，σ2Δt），則R-μσ2Δt～N（0，1）。那么由ΦR*-μσ2Δt=Φ（-Zα）得到：

R*=-ZασΔt+μ。（3）

其中Zα是在顯著性水平α下對(duì)應(yīng)的α分位數(shù)。將上式代入到（1）、（2）式中，得到

VaRR=-p0（R*-μ）=p0ZασΔt。（4）

VaRA=-p0R*=p0（ZασΔt-μ）。（5）

在實(shí)際計(jì)算中通常用（4）式計(jì)算VaR值。

2. GARCH模型下VaR計(jì)算方法

GARCH模型結(jié)構(gòu)如下：

xt=f（t，xt-1，xt-2，…）+εt

εt=htet

σt2=α0+∑qi=1αiε2t-i+∑pj=1βjσ2t-j（6）

式中，f（t，xt-1，xt-2，…）為{xt}的確定性信息擬合模型；et～N（0，σ2）。這個(gè)模型簡(jiǎn)記為GARCH（p，q）。

限制要求是：

ω>0，αi≥0，βj≥0。（7）

∑qi=1αi+∑pj=1βj<1。（8）

將算得的方差和分位數(shù)代入之前計(jì)算VaR的公式即可算出VaR值。

3. GARCH衍生模型下VaR計(jì)算方法

由1.3可知，GARCH模型的強(qiáng)約束在一定程度上限制了GARCH模型的使用范圍。為拓寬GARCH模型的使用范圍，構(gòu)造了GARCH的衍生模型。

（1） 指數(shù)GARCH模型（EGARCH）

xt=f（t，xt-1，xt-2，…）+εt

εt=htet （9）

lnσt2=α0+∑qi=1αiεt-1σ2t-i+φiεt-iσ2t-i+

∑pj=1βjlnσ2t-j

（2） TARCH模型

xt=ft，xt-1，xt-2，…+εt

εt=htet

σt2=α0+∑qi=1αiε2t-i+∑pj=1βjσ2t-j+φε2t-1dt-1（10）

其中

dt=1，εt<0

0，其他（11）

（3） GARCH-M模型

xt=ft，xt-1，xt-2，…+δσt2+εt

εt=htet

σt2=α0+∑qi=1αiε2t-i+∑pj=1βjσ2t-j（12）

在實(shí)際應(yīng)用中，我們將根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)選擇恰當(dāng)?shù)哪Ｐ瓦M(jìn)行擬合。

二、 滬深300綜合指數(shù)VaR計(jì)算

滬深300指數(shù)，是由滬深證券交易所于2005年4月8日聯(lián)合發(fā)布的反映滬深300指數(shù)編制目標(biāo)和運(yùn)行狀況，并能夠作為投資業(yè)績(jī)的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，為指數(shù)化投資和指數(shù)衍生產(chǎn)品創(chuàng)新提供基礎(chǔ)條件。

本文的實(shí)例分析采用的是2005年到2012年（2005年5月18日至2012年3月30日）滬深300指數(shù)。

1. 基本檢驗(yàn)

上證指數(shù)收益率以對(duì)數(shù)收益率形式即：

Rt=ln（Ct）-ln（Ct-1）。（13）

其中，Ct是t時(shí)刻的收盤(pán)價(jià)，Ct-1是t-1時(shí)刻的收盤(pán)價(jià)。

由數(shù)據(jù)可知，收益率在大部分時(shí)候是平穩(wěn)的，但會(huì)在某些時(shí)段波動(dòng)較大，這體現(xiàn)了集群效應(yīng)。根據(jù)軟件Eviews可以得到下表的上證指數(shù)收益率統(tǒng)計(jì)量，可以得到，峰度系數(shù)為5.448760，偏度系數(shù)為-0.392503，即不符合正態(tài)分布，而且收益率序列存在明顯的尖峰后尾性。采用ADF檢驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn)上證指數(shù)收益率序列的平穩(wěn)性，從其檢驗(yàn)結(jié)果中可以發(fā)現(xiàn)ADF檢驗(yàn)的t統(tǒng)計(jì)量值為-40.30077，明顯小于顯著性水平為1%的t統(tǒng)計(jì)量值-3.434004。根據(jù)ADF檢驗(yàn)，所以可以說(shuō)在99%的置信度下拒絕原假設(shè)，即收益率序列是平穩(wěn)的。我們通過(guò)白噪聲檢驗(yàn)可知收益率序列不是白噪聲序列。異方差性說(shuō)明序列可以用異方差條件模型進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)。

2. GARCH模型計(jì)算VaR

通過(guò)統(tǒng)計(jì)軟件Eviews，可以估計(jì)出各個(gè)模型的參數(shù)以及對(duì)應(yīng)的p值。

從上表可以看到，相比之下EGARCH（1，1）模型的各項(xiàng)參數(shù)的p值都小于0.05，其他模型的個(gè)別參數(shù)的p值比較大，所以可以認(rèn)為EGARCH（1，1）模型是最理想的擬合模型。

3. GARCH類模型的事后檢驗(yàn)

根據(jù)Kupiec在1995年提出的失敗率檢驗(yàn)法，再結(jié)合Eviews可以篩選出GARCH類模型的失敗數(shù)，從而計(jì)算出失敗率。

先根據(jù)從Eviews導(dǎo)出的各個(gè)模型VaR值序列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到失效個(gè)數(shù)然后得到失效率。從表2-3中可以看出，置信水平越高，得到的失效數(shù)和失效率就越小。針對(duì)各個(gè)模型的失效數(shù)和失效率也相差不大。

檢驗(yàn)結(jié)果顯示，在各個(gè)置信水平下失敗率均略大于顯著性水平，表示采用正態(tài)分布假設(shè)下得到的VaR比較大，高估了風(fēng)險(xiǎn)。

三、 結(jié)論

在市場(chǎng)處于較為平穩(wěn)的狀態(tài)時(shí)，能夠用GARCH及其衍生模型預(yù)測(cè)出VaR。但是在市場(chǎng)出現(xiàn)較大波動(dòng)時(shí)，很難用模型估計(jì)和預(yù)測(cè)出VaR。

該上證指數(shù)收益率有“尖峰厚尾”和聚集現(xiàn)象，不服從正態(tài)分布。風(fēng)險(xiǎn)對(duì)收益率的影響不顯著，投資者對(duì)該指數(shù)收益率下跌的反映往往高于相同程度收益率上漲的反映，即收益率的下跌對(duì)市場(chǎng)的影響更大。

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作者簡(jiǎn)介：

向君幸，陳麗，王曉彤，北京市中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）理學(xué)院。endprint