求兩條異面直線的距離

摘 要：求異面直線的距離的方法有很多，本文旨在遴選典型的例子展示先作出距離而后求之的策略，筆者通過一些例子來闡述這一觀點。

關鍵詞：異面直線；距離

【例1】 已知長方體ABCD-A1B1C1D1 中，A1A=a，AB=b，AD=c，求B1C與A1B的距離。

解：連A1D，DB，則平面A1DB與B1C平行，作BE⊥B1C于E，作EF⊥A1D于F，連BF，則B1C⊥平面BEF于E，且平面BEF與平面A1DB直交于BF。作EH⊥BF于F，則EH⊥平面A1DB，且EH之長等于異面直線B1C與A1B的距離。 在直角△B1BC中，

BE=B1B·BCB1C=aca2+c2，在直角△BEF中，BE已知，EF=b，

BF=BE2+EF2=a2b2+b2c2+a2c2a2+c2；EH=BE·EFBF=abca2b2+b2c2+a2c2即異面直線B1C與A1B的距離。

【例2】 已知長方體ABCD-A1B1C1D1 中，AA1=a，AB=b，AD=c，求BC1與A1C的距離。

解：連BD1與A1C相交于O，作OG∥BC1則平面OGC∥BC1，作CE⊥BC1于E，作EF⊥OG于F，連CF，則BC1⊥平面CEF，且平面CEF與平面OGC交于CF。

作EH⊥CF于H，則EH⊥平面OGC，且EH之長等于異面直線BC1與A1C的距離。 在直角△BCC1中，CE=BC·CC1BC1=aca2+c2，在直角△CEF中，CE已知，EF=b/2，

CF=CE2+EF2=a2b2+b2c2+a2c24（a2+c2）；EH=CE·EFCF=abca2b2+b2c2+4a2c2即異面直線BC1與A1C的距離。

【例3】 已知等邊圓錐的底面半徑為R，軸截面SAB的底角平分線為AC，又BD為底面的一條弦，且∠ABD=30°，求AC與BD的距離。

解：作圓錐底面的弦AF∥DB交圓周于F，連CF，則平面ACF∥DB. 設圓錐的高SO交AC于K，則KO⊥DB，過O作EG⊥DB交AF于G，連GK，EK則平面EGK⊥DB，且平面EGK與平面ACF直交于GK，作EH⊥GK于H.則EH⊥平面ACF，且EH之長等于異面直線AC與BD的距離。 在直角△KOA中，KO=AO·tan30°=33R

在直角△AGO中，KO=AO·sin30°=R2，于是EG=2GO=R。

在直角△KOG中，GK=KO2+GO2=216R； 在△EGK中，EH=KO·EGKG=277R

將以上三個例子中的異面直線抽象作m，n依三個例子中距離作法，可以得出作兩條異面直線距離的一個簡單的模式：

1. 經過與n平行與m相交的直線作出與n平行的平面α（如三個例子中的△A1BD，△OGC，△ACF所在的平面）。

2. 作出與n直交（垂足為W）且與平面α直交的平面β（如三個例子中的△BEF，△CEF，△EGK所在的平面）。

3. 在平面β內過W作與兩個直交平面α，β交線直交的線段（如三個例子中的線段EH）此線段的長度即異面直線m與n的距離。

求線段的長度時只需解象征平面β的三角形，計算時常用到“三角形各邊與其對應高的乘積相等”這一規律。

【例4】 已知棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，AC1是對角線，M，N分別是BB1，B1C1的中點，P是MN的中點，求DP與AC1的距離。

解：在原正方體的右邊補出一個與之等體積的正方體（如圖）連DF，PF，因DF∥AC1，故得到一個經過DP且與AC1平行的平面DPF（相當于模式1中的平面α）

連B1C，C1F1因為AC1⊥B1C，AC1⊥C1F，又作C1G⊥DF于G，連GF1，則AC1⊥平面C1F1G，于是DF⊥平面C1F1G，C1F1與DF相交于K，連GK，得到一個與平面DPF直交于GK的平面C1F1G（相當于模式2中的平面β）

連平面C1F1G內過C1作直交于GK的線段C1H（H在GK的延長線上如附圖）C1H之長等于異面直線DP與AC1的距離。

連C1D，在直角△DC1F中，C1G=C1D·C1FDF=2·13=63，作KQ⊥C1F于R，則R為B1N的中點，從而，KQPR=FQFR，KQ1/4=1-KQ7/4，解得KQ=1/8，又C1Q=1/8，于是FQ=7/8且C1K=2/8，

在直角△PQK中，KF2=KQ2+FQ2=25/32

在直角△C1GF中，GF2=C1F2-C1G2=1-（6/3）2=1/3

在直角△FGK中，KG=KF2-GF2=25/32-1/3=258/24

在△C1GK中，C1K=2/8，C1G=6/3，KG=258/24，由余弦定理得∠GC1K=30

°，于是C1G·C1Ksin300=KG·C1H， 63·28·12=25824·C1H，解得C1H=8686，即異面直線DP與AC1的距離。

應用“模式法”解本題，要利用平移、補形等手段。讀者利用此方法解答下面兩個習題。

練習1：求棱長為1的四面體S-ABC中異面直線BC與SA的距離。（2/2）

練習2：已知正三棱錐A-BCD的側面是邊長為a的正三角形，E是CD的中點，求BC與AE的距離。2211a

解：作EF∥BC交BD于F，連AF，則得經過AE且與BC平行的平面AEF（相當于模式1中的平面α）

作DG⊥BC于G交EF于K，連AK，則得與BC垂直且與平面AEF平行直交于AK平面AGD（相當于模式2中的平面β）

在平面AGD內作GH⊥AK于H，則GH⊥平面AEF，且線段GH之長等于異面直線BC與AE的距離，依題意，正三棱錐A-BCD的棱長是為a的四面體，則正三棱錐A-BCD的高為AO=63a，因為EF是正△ABC的中位線，于是DG=32a，GK=34a.在等腰△AEF中，易求AK=114a，在△AGK中，

GK·AO=AK·GH，即34a·63a=114a·GH得GH=2211a即異面直線BC與AE的距離。

本文強調的觀點是通過作圖來求異面直線的距離，在作圖過程中，我們可以通過多做一些分解的平面圖，這樣，能更直觀些，同時可以轉換為平面幾何的問題處理。

作者簡介：張國民，黑龍江省青岡縣第六中學。endprint