復合函數定義域求法及其解題意義研究

摘要：復合函數主要是指函數間通過運算法則進行聯系后所形成的新的復雜函數。理解其定義域求法不僅對于解題具有直接貢獻，更能夠對于后續圖像的理解、其他問題的分析提供一定的幫助。本文系統總結在實際學習過程中所遇到的復合函數定義域求法，并試圖分析定義域對其解題的意義，希望能夠為后續的學習與研究提供一定的幫助。

關鍵詞：復合函數；定義域；求解；意義

高中階段的函數學習較為復雜、困難，且對于廣大學生而言既是全新數學思維的應用，又是形成后續學習的客觀基礎。在函數教學體系中，復雜函數、特殊函數及復合函數在考查過程中占據了很大的比例。這也就要求我們在學習的過程中要有所側重。只有靈活的掌握函數的相關知識，才能夠在后續的數學及其他學科的學習過程中形成“先機”。

在眾多考題中，關于復合函數的定義域求解問題一直是困擾學生的一大難點，而近年來針對該領域問題的研究也相對薄弱，這不僅使得學生在學習過程中缺乏有效的遵循，還使得我們無法在短時間內形成突破。在嚴重的影響了學生數學成績的同時也不可避免的造成后續問題求解的障礙。針對這一情況，筆者結合日常學習與解題中的相關經驗進行總結，對該類問題下的具體分類與求解方式進行匯總，希望能夠成為后續學習與解題過程中的有效遵循。與此同時，試圖探明定義域在后續解題過程中的重要意義，使之能夠引起廣大教師與學生的重視。

一、 復合函數定義域求法研究

正如上文所說，以大量的習題為基礎進行的總結使得我們發現，復合函數定義域問題在考察過程中一般分為四個類別，其類別特征與解題思路如下：

（一） 函數替換類

該類問題是利用函數替換原函數中的未知量，并在給定原函數定義域的基礎上對新未知量的定義域進行求解。利用數學語言進行表征則可以表示為：給定f（x）定義域，求解f[g（x）]的定義域。如題目：已知f（x）定義域為（-1，4]，求f（x2+4x）定義域。

該類問題為復合函數定義域的基礎性問題。從函數定義與內涵的角度來進行理解則可以輕松列出不等式，進而通過不等式求解的方式獲得相關答案。具體的定義內涵層面上，復合函數在原函數的位置替代中相當于未知數“x”，故而其定義域屬性應該繼承并來源于原函數的定義域。以上題為例，可以得到-1

（二） 函數反推類

該類問題總體上表現為給定復合函數定義域求解簡單函數定義域。與上文所討論的題型呈現出相反的趨勢，用數學語言來表達即已知f[g（x）]的定義域求解f（x）的定義域。如題目：已知復合函數f（5-3x）的定義域為[-2，1]，求函數f（x）的定義域。

該類問題與函數替換類相反，其所需要應用的解題思路為定義域定義與內涵。在此過程中我們需要了解，所謂的定義域是全部函數未知數的集合，而復合函數中則強調的是函數的賦值集合作為簡單函數的定義域范圍。從上文中的具體題目來看，條件中給出的已知定義域[-2，1]，是簡單函數g（x）=5-3x的定義域范圍。故而該問題轉化為求解 g（x）=5-3x的值域。根據計算，其值域范圍為[2，11]，故而簡單函數f（x）的定義域為[2，11]。在此過程中我們需要注意的是符號帶來的極值變化，如果簡單函數為二次或以上函數，還應該判斷曲線極值的出現位點。

（三） 雙復合類

所謂的雙復合類函數定義域的求解問題主要是指給定某個復合函數的定義域求解另一個復合函數的定義域問題。用數學語言來予以表達即為：已知f[g（x）]的定義域求解 f[t（x）]的定義域。如題目，已知復合函數f（x+1）的定義域為[-1，3]，求函數f（2-x）的定義域。

該類問題在實際求解的過程中可以看做是函數替換類與函數反推類復合函數定義域求解問題的組合。其運算過程需要引入中間變量H來輔助思考。其思考過程大致如下：首先，以已知函數的定義域為藍本進行函數反推，即已知復合函數f（x+1）的定義域為[-1，3]，求解函數f（H）的定義域，此過程的計算方法依照反推類來進行；其次，已知函數f（H）的定義域，求解函數f（2-x）的定義域，該過程依據函數替換類來進行。

（四） 運算復合類

所謂的運算復合類函數定義域問題主要是指已知函數的定義域，求解若干函數運算后的綜合定義域。利用數學語言來表達則為：已知f（x）的定義域，求解f（x）=f（i1）+f（i2）+…+f（ij）的定義域。其中高中階段所接觸的運算方式一般為加減乘除基礎四則運算。如題目，已知f（x）的定義域為[-1，2），求解f（x）=f（x+3）+f（x-1）-f（2x）的定義域。

在實際求解的過程中，該類問題的核心關鍵是對不同的運算要素函數的定義域進行分別求解，并確定其交集，為最終的復合函數定義域。值得注意的是當運算規則中存在除法或者根號等運算，其定義域還應該剔除掉各自運算規則下的特殊點，如f（x）=0 的位點。

二、 復合函數定義域的解題意義分析

通過上文的分析我們對四種復合函數的求解思想與具體求解過程進行了系統性總結。而復合函數的定義域問題對于后續的函數類問題也具有一定的積極意義，大致如下：

第一，可以輔助判斷函數方向。通過定義域的計算能夠判斷函數在不同取值過程中的函數結果，進而通過結果的判斷可以形成函數走向的基本動態。如在一次函數中，其函數圖像表現為線性函數，而判斷終點值的大小可以確定函數的增減性。

第二，可以輔助判斷函數圖像。對不同取值范圍的研判可以確定函數的連續性，進而在取值區間內形成函數圖像的基本確定。該條件的應用有助于后續我們理解復雜函數的相關問題，尤其是在二次以上或周期函數的趨勢判斷中提供必要的幫助。

第三，可以輔助判斷函數根的大致取值。函數的定義域代表了未知數的取值范圍，而復合函數的定義域則往往是已知函數的值域。通過此種規則可以將值域問題轉化為定義域問題，進而降低解題難度，提高解題正確率。

三、 總結

本文系統總結了四種復合函數定義域的解法與數學思想，并對定義域的解題意義進行探討，旨在為后續的學習與研究提供重要參考。

參考文獻：

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作者簡介：

劉天好，湖北省恩施土家族苗族自治州高級中學（簡稱恩施高中）。