數學活動課怎樣上？

葉海波+王會玲

人教版初中《數學》教材章節后的“數學活動”部分充分體現了編者對數學活動經驗的重視，但由于教材對“數學活動”提供的情景或問題往往比較簡略，表面上看不出具體知識技能的指向，加之受應試教育的影響，導致一些教師對“數學活動”教與學沒有足夠的重視。因此，數學活動實際教學情況是：要么是一帶而過，要么上成復習課，抑或是上成“手工課”。這與新課標中關于數學活動是初中數學四大領域之一“綜合與實踐”的重要載體的地位是不相符的。近日，在一次數學學科培訓活動中，一位鄉村中學的青年教師為我們展示了一節生動而豐富的數學活動課《平面鑲嵌》（八年級上冊），在活動進程中既有學生動手實踐的精彩，也有思維碰撞的火花。

課堂實錄：

【引入】首先播放地面鑲嵌的視頻，出示課題，然后要求學生圍繞問題自學：1.什么是平面鑲嵌？2.平面鑲嵌的條件是什么？

學生的回答從“一些不重疊的多邊形把平面的一部分完全覆蓋”到“嚴絲合縫，不留空隙”再到“無空隙，不重疊”。

教師都給予肯定的評價，同時出示PPT引導學生觀察圖形的局部（某個拼接點），發現多邊形平面鑲嵌條件的數學表述：每個拼接點處內角之和為360°。

點評：數學源于生活且應用于生活，這位教師借助視頻和課件展現生活中學生熟悉的大量有關多邊形密鋪的圖片，從直觀角度對學生認識什么是多邊形平面鑲嵌打下烙印。然后提出問題引發思考，讓學生經歷從生活化的語言表述逐步提煉成數學語言的過程。教師在對多邊形平面鑲嵌條件的數學表述上給了學生恰當的點撥，讓學生體會從具體直觀到抽象概括的數學化過程。

【活動1】以小組為單位，嘗試用課前準備的邊長相同的正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形紙片中的一種分別進行密鋪，分組上臺展示各種拼接的情況并說明是否是平面鑲嵌。

設問：為什么正三角形、正方形、正六邊形能平面鑲嵌？為什么正五邊形不能平面鑲嵌？正八邊形能否平面鑲嵌？正十邊形呢？

由于有前一個環節的鋪墊，結合動手操作的情況，學生認識到：能否用正多邊形鑲嵌，就是看若干個正多邊形的內角能否拼成周角，轉化為數量條件即為：正多邊形的一個內角的度數能否整除360°。學生也進一步通過計算發現正八邊形、正十邊形不能平面鑲嵌。

點評：研究生活中的常見數學問題，引發了學生對知識的渴望，喚起了學生自己動手探究的主動性和積極性。在動手實踐中有學生看得見、摸得著的實體形象，喚起學生學習的愉悅；在問題串的探究交流中又展現了學習的智力背景，體現出數學知識的實用功能，鼓舞著學生主動求知。在為所有學生提供充分展示學習實踐成果機會的前提下，讓學生建立學習數學的自信，教師只是以合作者的身份幫助學生在活動探究中加深對知識的理解，獲得初步的數學活動經驗。此處如果對究竟“有哪幾種正多邊形能平面鑲嵌？”作進一步的探討，還可以給學生更多的思考空間。

【活動2】還以小組為單位，嘗試用課前準備的一些形狀、大小相同的三角形紙板和四邊形紙板分別進行密鋪，分組上臺展示各種拼接的情況并說明是否是平面鑲嵌。

設問：形狀、大小相同的三角形紙板和四邊形紙板為什么分別能平面鑲嵌？對任意多邊形平面鑲嵌除了要求拼接點處的內角和為360°以外，還要注意什么？

通過拼圖和借鑒前面活動的經驗，學生認識到任意三角形和四邊形分別能進行平面鑲嵌是因為它們內角和的特殊性決定的。而對比某一個拼接點的不同拼法，一方面學生從直觀的角度認識到“拼接邊要相等”，另一方面加深學生對平面鑲嵌概念更深入的理解，即“如果有足夠多的多邊形（三角形或四邊形）可以將整個平面完全覆蓋”，強化平面鑲嵌要達成“每個拼接點的內角和為360°”。

點評：活動2是在經過活動1積累了一定的活動經驗，同時對平面鑲嵌有了初步了解的基礎上設計的一個形式更為一般、更為復雜的拼接活動。創設更富挑戰性和趣味性的活動情境，讓學生又投入到積極的學習中，通過展示活動成果既讓學生獲得成功的體驗，也能感受到矛盾和困難的沖擊，以達到對所涉及的數學知識更深入的理解和掌握更多的探究學習技能。

【活動3】以小組為單位，嘗試用課前準備的邊長相同的正三角形和正方形兩種紙片進行拼接，能否平面鑲嵌？若用正三角形和正五邊形紙片呢？若用正三角形和正六邊形紙片呢？展示各種拼接的情況并說明是否是平面鑲嵌？為什么？

在小組活動交流的基礎上結合拼接成的圖形，學生認識到：兩種正多邊形能否平面鑲嵌取決于是否有若干個正多邊形的內角拼出一個周角。

設問：判斷能否用邊長相同的正三角形和正八邊形平面鑲嵌？

由于事先沒準備正八邊形紙片，不能操作判斷。學生自然會類比前面的活動經驗，通過計算正三角形和正八邊形的內角度數來判斷。此時多數學生是選擇嘗試不同個數正三角形和正八邊形的內角求和，經過實驗作出判斷。在此基礎上教師啟發學生思考把不確定的正三角形或正八邊形的個數符號化，引入方程思想。即假設能平面鑲嵌，設一個拼接點處有m個正三角形的角，n個正八邊形的角，則60m+135n=360，再討論二元一次方程的正整數解作出判斷。

點評：在活動3中，學生的學習行為從動手實踐，到具體數據的算術試驗，再到討論不定方程的特殊解。這種從學生面對的顯性、外在的具體操作過渡到用數學解釋操作的理由或代替操作，再到用更一般更通性的數學方法去做出判斷的活動過程，符合學生的認知規律。

【延伸】課外活動：能任選邊長相同的三種不同正多邊形進行平面鑲嵌嗎？四種呢？

學生小組交流談想法，教師做點評，再播放三種正多邊形能（或不能）平面鑲嵌的推算和拼擺過程的微課。

點評：在經過豐富的數學活動和數學思考之后，學生站在理性的角度重新面對具體的情境，那就不再首先是動手做，而是先通過數學方法做出判斷。經歷這樣的環節，進一步強化了學生的數學應用意識，也體現了“問題情境——建立模型——解釋應用與拓展”這一知識形成應用的過程。對課堂上由于時間關系無法直接探討完成的知識點用微課進行延伸，學生既興趣盎然，又易于接受，這樣學習效率高，課堂教學效率也高。

總評：

《平面鑲嵌》這節數學活動課在教材中是以課題學習的形式呈現的。本節課以問題為主線，以學生的動手操作實驗活動為主，以“提出問題——自主探究——歸納分析”的模式展開教學。學生在問題的引領下有目標的自主探究，既培養學生的動手操作能力，經歷猜想、實踐、歸納的過程，又培養學生認真思考、討論交流的良好習慣，同時也培養學生的創新能力和實踐能力。

數學活動課是對課堂教學的一種補充，不同于數學知識傳授課，也不是一般的數學課外活動。它是為了讓學生對某一體系的數學知識更深入理解、更牢固掌握、更靈活應用，針對性創設一定的活動情境，在數學思維活動的參與下，進行的學習研究活動。本節活動課主要體現了以下兩個方面的特點：一是注重數學活動的內涵。突出了觀察與體驗、感性與理性。我們時常看到活動課表面很熱鬧，但活動與思維是脫節的，這樣的活動課是低層次的。但在這節活動課中，讓學生在做數學活動中，產生一些想法——無論正確與否——加以驗證，培養了學生自覺應用數學解釋生活現象的意識。二是轉換數學活動的角色。我們還看到一些活動課，學生在活動中只是扮演教師的若干只手而已，是被動參與。要做什么、怎么做、會有什么結果，學生一直是被教師牽著走的。而在本節課中，學生是活動的主體、知識的探索者、團隊的合作者，教師只是參與者，學生主動參與發現、探究、解決問題，從中獲得數學知識，獲得解決實際問題的過程體驗、情感體驗。

數學活動課教學與系統理論知識的教學是不同的，它要求教師花更多的時間和精力去準備，包括確定活動目標、明確活動主題、選擇活動場景、預設活動過程、預測活動結果等，每個方面都值得我們去揣摩和研究。紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行，數學活動課的預設與生成值得我們去深層探索，需要數學教師在多次的數學活動課教學中積累，經過多次嘗試才能獲得成功。

（作者單位：葉海波，宜都市教研室；王會玲，宜都市枝城中學）

責任編輯 陳建軍endprint