命題須嚴謹解題應反思

楊麗娟??

摘要：各類試題的命制應遵守科學性原則，其表述必須科學嚴謹，杜絕科學性、技術性錯誤，但筆者發現近年各種教學資料及中高考試題中，總會出現一些令人失望的試題，就此擇其一二作一點評。

關鍵詞：命題；嚴謹；解題；反思

引題：如圖，△ABC的周長為24，面積為48，求它的內切圓的半徑（蘇科版教材九年級上冊第74頁第11題）。

命制此題的原意是考查三角形面積公式S=pr，其中p為三角形半周長，r為內切圓半徑，因此，容易求得內切圓半徑r=4。但仔細一想，此時，內切圓面積為16π，竟然比三角形面積大！

進而思考，若記△ABC的三邊長為a，b，c，p=12（a+b+c），則由海倫公式S=p（p-a）（p-b）（p-c），及（p-a）（p-b）（p-c）≤（p3）3可知，當a=b=c時，Smax=39p2，所以若三角形的周長一定，則當三角形為等邊三角形時，面積有最大值39p2，從而內切圓半徑r≤39p，由此可知原題兩個數據相互矛盾！

上述習題，筆者不妨稱之為“問題”題，聯想到近年各地中考試題中，也有類似試題，筆者選取數題，拋磚引玉。

一、 命題不知“錯”滋味，為求“銜接”強編題

例1（2014·江蘇南通）已知實數m，n滿足m-n2=1，則代數式m2+2n2+4m-1的最小值等于。

點評與解析：當年評分的標準答案是-12。其實不然，將n2=m-1，代入原式=m2+6m-3=（m+3）2-12，再由n2=m-1≥0得m≥1，故取m=1得原代數式的最小值為4，即答案為4，因此筆者認為此知識點屬于高中數學中有關二次函數圖像在某個區間內的最值問題。

二、 數形結合考思想，畫虎不成反類犬

例2（2015·四川資陽）如圖，AD、BC是⊙O的兩條互相垂直的直徑，點P從點O出發，沿O→C→D→O的路線勻速運動，設∠APB=y（單位：度），那么y與點P運動的時間x（單位：秒）的關系圖是（）

點評與解析：標準答案是選B。但筆者仔細觀察發現，選項中的四個圖像似乎均為直線形，即為一次函數的圖像，而當點P沿O→C運動及沿D→O運動時，由tan∠APB=AOOP，其中AO是常量，OP是變量，故∠APB的變化函數是一個反三角函數的圖像，并非如原題圖像那么簡單，所以本題是道錯題。

三、 特殊情形猜一般，思維誤導負遷移

例3（2015·江蘇揚州）如圖1，直線l⊥線段AB于點B，點C在AB上，且AC∶CB=2∶1，點M是直線l上的動點，作點B關于直線CM的對稱點B′，直線AB′與直線CM相交于點P，連接PB。

（1） 如圖2，若點P與點M重合，則∠PAB=°，線段PA與PB的比值為；

（2） 如圖3，若點P與點M不重合，設過P、B、C三點的圓與直線AP相交于D，連接CD。求證：①CD=CB′；②PA=2PB；

（3） 如圖4，AC=2，BC=1，則滿足條件PA=2PB的點都在一個確定的圓上，在以下兩小題中選做一題：

①如果你能發現這個確定圓的圓心和半徑，那么不必寫出發現過程，只要證明這個圓上的任意一點Q，都滿足QA=2QB；

②如果你不能發現這個確定圓的圓心和半徑，那么請取幾個特殊位置的P點，如點P在直線AB上、點P與點M重合等進行探究，求這個圓的半徑。

圖1圖2

圖3圖4

點評與解析：第（1）題答案是∠PAB=30°，PA∶PB=2；第（2）題①由圓內接四邊形的性質得∠CDB′=∠CBP，所以∠CDB′=∠CB′D，根據等腰三角形的判定得到CD=CB′；②作B′E∥PC交AC于E，連接BB′交PC于F，利用對稱性質得FB=FB′，PB=PB′，而CF∥B′E，則CF為△BEB′的中位線，所以BC=CE，加上AC=2BC，所以AE=EC，然后利用B′E∥PC，則AB′=PB′，所以PA=2PB′=2PB；第（3）題屬于難題，通過分析可知，此圓圓心O在AB延長線上，且OB=1，半徑為2，當點Q在⊙O上時，連OQ，則由OQOA=OBOQ=12，又∠QOB=∠AOQ，可證△AQO∽△QBO，從而QA=2QB。

命題人的意圖可能是考查從特殊到一般以及歸納猜想的數學思想，想讓考生從第（1）（2）問猜想得第（3）問的答案，從思維的遷移性分析，筆者以為，大多考生會猜想此圓必過B、C兩點，其實不然，這是一種典型的“負遷移”！本題是從著名的數學問題“阿波羅尼斯圓”改編而來，正確的思路是：此圓必過點C，再延長AB至D，使DB=AB=3，則此點也符合條件，進而猜想“這個確定圓的圓心和半徑”。

綜上所述，在平時的教學乃至中高考中難免有錯題出現，有的錯題具有較強的迷惑性，因而我們在運用概念、定理、法則進行判斷、論證或運算時，一旦出現錯誤就較難覺察，這樣就容易給學生產生誤導，影響了學生思維的形成和發展。所以我們要研究錯誤的特征，以防患于未然。

作者簡介：

楊麗娟，江蘇省啟東市呂四中學。endprint