淺議高等代數概念教學

摘 要：高等代數是專科數學教育專業的一門重要的基礎課，課程內的概念較抽象，學生理解起來有一定的難度，本文通過重視概念的形成過程、注重概念間的比較及注重概念的多方面理解三個方面來說明如何進行概念教學，才能讓專科的學生在學習高等代數的概念時不顯得那么困難。

關鍵詞：高等代數；概念；教學

數學概念是反映一類事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性的思維方式，往往脫離了事物的具體物質屬性，而高等代數中的概念更是比較抽象的。學生對概念的理解直接決定了學生對后續相關知識的性質、定理等的學習，如果學不好概念，那就更不能談對概念的運用了。所以要提高高等代數的教學質量，就要重視概念的教學。

高等代數是我院數學教育專業大學一年級的學生開設的專業基礎課，大多數學生在中學階段是沒有接觸高等代數中的相關內容的，所以在初接觸時會覺得有點不可思議，有點難以理解。學生在學習這些基礎知識時，會有新奇，會有不習慣，會有混淆。在教學中注意將所學的知識與學生的舊知識體系相結合起來，學生在已有的知識系統中來學習新知識時，就會覺得相對容易點。以下筆者主要針對專科階段的高等代數教學中的概念教學提出自己的一點意見。

一、 重視概念的形成過程

概念的形成過程非常重要，它是在對事物的感知和分析、比較、抽象的基礎上，概括一類事物的本質，屬性，不斷提出假設，驗證假設的過程。高等代數中的一些概念的形成過程也是可以在學生面前展示出來的，讓學生在對以往的一些知識的解決中發現一些新的方法，得到一些新的概念。在教學概念的形成過程時，還要關注學生的學習經驗，只有在學生的學習經驗的基礎上來講解新課才是最有效的，學生也才能最容易理解和學習。

在學習n階行列式的概念時，我們知道行列式的概念部分是由線性方程組的求解引入的，在行列式的歷史進程中，它最早就只是求解線性方程組的工具，所以從線性方程組的求解引入是自然的，學生對二元一次線性方程組也是比較熟悉，學生在中學生階段只學習過代入消元法，可以講點加減消元法，學生應當容易理解，從二元一次線性方程組引入二階行列式，將方程組的加減消元法中的解與系數的關系用行列式表示出來，自然引入二階行列式及計算方法；類似的方法引入三階行列式及計算方法，在老師的引導下，由學生觀察出二階行列式與三階行列式的共同特點，自然得到n階行列式的概念。

又如矩陣的秩的概念，如果直接得出矩陣的秩，學生應該會覺得不知道是什么。在學習此概念前，學生已經學習過行列式的相關內容和n元向量組的極大無關組及向量組的秩，所以在學習前，先給學生介紹矩陣的k階子式，再舉一個三行四行的矩陣的例子，當然這個例子要特殊一點，比如第一、三行對應成比例，然后提問學生此矩陣的最高階子式是多少階？讓學生求出所有的三階子式，學生很容易就發現所有的三階子式的值都為0，再提問那是否有不為零的二階子式，學生發現是存在不為零的二階子式，也有等于零的二階子式。于是就將2稱為矩陣的秩。于是讓學生用自己的語言將矩陣的秩描述出來，并用語言回顧如何得到矩陣的秩的。用這同一個例子還可以得到矩陣的秩的性質，即若矩陣A秩為r，則至少存在一個r階子式不為零，而所有的比r更高階的子式全為零。

以前的教學中不注重知識的形成過程，直接將知識教給學生，讓學生知其然而不知其所以然，這樣的教學會讓學生的學習是短暫的記憶，很容易就忘記了。教學時關鍵是要通過教學概念的形成過程讓學生掌握知識獲得的方法，學習方法，掌握并運用方法才能讓學生對概念有深刻的理解和記憶。

二、 注重概念間的比較

科學地進行比較，能幫助學生有效地進行知識的概括。只有將相似的概念進行比較，才能讓學生對概念進行及時的抽象與概括，才能真正地掌握事物的本質與規律。對高等代數中的一些相似的概念進行分析和比較，不僅讓學生對概念有不同的認識，還能從概念間的不同來體會概念的深刻意義。

在學習了行列式與矩陣后，學生很容易對兩者產生混淆，這時適時地對二者進行比較，得到二者的區別，讓學生對行列式與矩陣的概念都有深刻的理解。行列式與矩陣的區別有：一是本質不一樣，行列式本質上是一個數值，矩陣是一個數表，不能直接表示成一個數；二是表達形式不一樣，行列式是由兩條垂直的豎線框起來的，而矩陣是由一個小括號或中括號框起來的；三是結構不一樣，行列式的行與列必須要相同，行與列的地位也是相等的，而矩陣的行與列可以不相同。四是某些性質不一樣，比如一個常數乘行列式，相當于這個數乘行列式的某一行或某一列，而一個常數乘矩陣則是這個數乘以矩陣的每一個數；又如在行列式中若要提公因式只需要有一行或一列有公因數即可，而矩陣中必須每個數都有公因數才能提出來。五是連接符號不一樣，行列式之間用等號連接，而矩陣之間用箭頭連接，這是因為行列是運用性質進行計算，而矩陣之間是用初等變換進行變化，兩個矩陣是不相等的。

對向量組的極大無關組，齊次線性方程組的基礎解系，線性空間的基進行比較。這三個概念雖然名字不一樣，但其本質意義是一樣的。首先學的是向量組的極大無關組，教材中關于極大無關組的定義是分兩個方面來說明的，對于非空向量組的部分向量組，滿足兩個條件：一是線性無關，二是每個向量都可以由這個部分向量組線性表示，則稱這個部分向量組是極大無關組。學生對第一個條件沒有什么爭議，但第二個條件的理解就有一定的難度。其實在教學這個概念時，可以先舉一個例子，讓學生從例子中發現向量組的極大無關組就是它的部分向量組中含有向量最多且線性無關的部分向量組，從例子中還可以發現線性相關的向量組的極大無關組有可能是不唯一的。然后再講書上的概念，書上的概念可以從反面來講，結合例子學生應該很容易就明白了。只要將向量組的極大無關組的概念弄清楚了，那后面兩個概念應該就好懂了。齊次線性方程組的基礎解系相當于解向量組的極大無關組，而線性空間中，本來就將線性空間的元素稱為向量，那其基就是向量組的極大無關組了，只是在線性空間中，基的具體表示就要分不同的集合來定了，比如元素是一元多項式，其基的具體表示就肯定和矩陣空間是不一樣的。endprint

三、 注重概念的多方面理解

概念的形成過程是初學概念時需要在老師的引導下來進行的，概念的比較教學是學習了幾個相似的概念后，為了鞏固這些概念，讓學生不至于混淆概念的前提下來進行的，而對概念的多方面理解則是因為有些概念太抽象，需要用不同的元素來進行講解，讓學生對概念的理解更加深刻。在高等代數中線性空間與線性變換的概念比較抽象，在教學中，發現學生學習起來也是有很大的難度的。

線性空間也叫向量空間，不同的教材有不同的名字，但本質是一樣的，筆者在教學時比較愛用線性空間來稱呼，為了不與n元向量空間相混淆。線性空間的定義是很長的，在教學時主要采取先舉幾個常見的例子，例子分別是一元多項式、矩陣和n元向量的例子，這些集合都是前面學習過的，對于他們定義的線性運算滿足的八條運算律也是前面學習過的。然后讓學生觀察三個例子的共全規律，比如涉及的集合有幾個？涉及的運算有幾種？是怎樣的運算？滿足的運算律是哪些？有什么特點？通過這些問題，讓學生充分觀察思考后就可以得到線性空間的定義了。然后再舉幾個例子說明，當然還有一些特殊的例子和性質。給學生足夠的例子觀察，足夠的時間思考，相信學生一定可以掌握這個定義，還可以學到得到這個定義的方法。

線性變換的內容是非常抽象的，學生學習起來難度很大，在教學時先回顧映射，集合到本身的映射就是變換，變換滿足線性運算就是線性變換。這個概念看似簡單，但在教學中發現學生學習還是有很大的難度，主要是集合的種類特別多，學生首先要搞明白集合中的元素是什么，變換是怎樣的變換，怎么判定兩個條件是否都滿足。在教學時可以先舉簡單的例子來說明如何判斷是否是線性變換。比如可以先舉三元向量組構成的集合。在教學中筆者發現，學生對n元向量相關的集合是否線性變換的決斷較容易掌握，但對比較抽象的概念的判斷學生表示無能為力。為了讓學生對線性變換有深刻的理解，要分別從n元向量空間，矩陣空間和一元多項式空間中舉不同的例子讓學生學著判斷。從不同的元素去運用線性變換的定義來進行判斷，讓學生對定義的本質進行深刻的認識。

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作者簡介：何宏，四川省廣安市，廣安職業技術學院師范學院。endprint