由江蘇省中職對口高考數(shù)列試題例談數(shù)列求和方法

摘要：上世紀(jì)90年代中期，隨著國家經(jīng)濟(jì)政策的調(diào)整，適應(yīng)社會(huì)對人才的需求，同時(shí)也為扶持中等職業(yè)學(xué)校的發(fā)展，滿足職專學(xué)生升學(xué)深造的愿望，國家教育部出臺(tái)了“對口高考”政策。對口高考是國家從高校招生計(jì)劃中選擇部分專業(yè)，拿出專門指標(biāo)，對希望繼續(xù)深造的中等職業(yè)學(xué)校學(xué)生進(jìn)行對口專業(yè)的考試，為優(yōu)秀的中等職業(yè)類學(xué)生提供上大學(xué)深造的機(jī)會(huì)，對口高考的學(xué)生大學(xué)畢業(yè)后和同年通過普通高考進(jìn)入大學(xué)深造的學(xué)生享受同等待遇。對口高考科目有語文、數(shù)學(xué)、英語和相應(yīng)專業(yè)理論基礎(chǔ)和實(shí)踐技能。與普通高考相比，對口高考具有考試難度小，門檻低，參加考試人數(shù)少，升學(xué)錄取率高等優(yōu)點(diǎn)。而對口高考科目中，數(shù)學(xué)的重要性對參考學(xué)生來說尤為重要，試卷中數(shù)列和平面解析幾何的綜合題又往往被作為壓軸題，決定著學(xué)生能否在對口高考中勝出。

關(guān)鍵詞：例談；對口單招；數(shù)列求和；方法

在數(shù)列知識的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)列求和問題是最基本的一項(xiàng)內(nèi)容。由于數(shù)列求和問題較多，技巧性也非常強(qiáng)，從而導(dǎo)致數(shù)列求和成為中職生參加對口高考的難點(diǎn)知識。本文通過江蘇省對口高考新高考（2014年實(shí)施）對數(shù)列求和的要求，介紹具體的解題方法和技巧，有利于幫助中職生更好地理解數(shù)列求和的知識點(diǎn)，提升中職生解決對口高考數(shù)學(xué)考試中數(shù)列求和問題的能力。

一、 利用公式求和法

這類試題往往是比較單一的等差數(shù)列或等比數(shù)列，直接利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)，求得最后的結(jié)果，這種方法往往結(jié)合函數(shù)應(yīng)用題進(jìn)行考查。

如2015年江蘇省對口高考數(shù)學(xué)試卷第21題：

某職校畢業(yè)生小李一次性支出72萬元購廠創(chuàng)業(yè)，同年另需投入其他經(jīng)費(fèi)18萬元，以后每年比上一年多投入4萬元。假設(shè)每年的銷售收入都是50萬元，用f（n）表示前n年的純利潤（注：f（n）=（前n年的總收入）-（前n年的其他經(jīng)費(fèi)支出）-（購廠支出））。（1）問：小李最短需要多長時(shí)間才能收回成本？（2）若干年后，為轉(zhuǎn)型升級，進(jìn)行二次創(chuàng)業(yè)，現(xiàn)有如下兩種處理方案：方案一：年平均利潤最大時(shí)，以48萬元出售該廠；方案二：純利潤總和最大時(shí)，以15萬元出售該廠。問：采取哪種方案更好？

該題中“前n年的其他經(jīng)費(fèi)支出”便是以18為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，直接利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn=na1+n（n-1）2d，代入a1=18，d=4得前n年的其他經(jīng)費(fèi)支出為2n2+16n。

二、 分組求和法

分組求和法：就是將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩項(xiàng)，而這兩項(xiàng)往往是常數(shù)或是等差（比）數(shù)列，進(jìn)而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和方法分別求和，然后再合并，從而得到該數(shù)列的前n項(xiàng)和。

如2014年江蘇省對口高考數(shù)學(xué)試卷第21題：

已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=A·2n+B，其中A，B是常數(shù)，且a1=3。（1）求數(shù)列{an}的公比q；（2）求A，B的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和Tn。

該題在第（2）問中得到Sn=3·2n-3，n∈N+，因?yàn)閿?shù)列{Sn}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，所以它的前n項(xiàng)和Tn=3·2-3+3·22-3+…+3·2n-3。即Tn=3（2+22+23+…+2n）-3+3+3+…3n。然后分別利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和求2+22+23+…+2n的和，用常數(shù)列求和求3+3+3+…+3n的和，再將兩和合并即可。

三、 裂項(xiàng)相消求和法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆分為兩項(xiàng)之差，使之在求和時(shí)產(chǎn)生前后相互抵消的項(xiàng)的求和方法。這種方法往往應(yīng)用于數(shù)列的通項(xiàng)公式呈現(xiàn)以下基本形式時(shí)：（1）an=1n（n+1）=1n-1n+1，n∈N+；（2）an=2（2n-1）（2n+1）=12n-1-12n+1，n∈N+。

如2015年江蘇省對口高考數(shù)學(xué)試卷第20題：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，且滿足an+1-2Sn=1（n為正整數(shù)）。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=log3an+1，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；（3）設(shè)cn=12Tn，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)和R100。

該題最終得出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=1n（n+1），n∈N+，求R100時(shí)，只要求出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn，然后將n=100代入即可。將cn裂項(xiàng)得cn=1n-1n+1，n∈N+所以Rn=11-12+12-13+…+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1，則R100=100101。

四、 錯(cuò)位相減求和法

這種方法主要是應(yīng)用于數(shù)列的通項(xiàng)表示成一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的積的形式。在求這種數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，先在前n項(xiàng)和等式兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列的公比后，對應(yīng)好兩個(gè)等式中指數(shù)冪相等的項(xiàng)，再用其中一個(gè)等式減另一個(gè)等式整理而得前n項(xiàng)和公式。

如2016年江蘇省對口高考數(shù)學(xué)試卷第23題：

設(shè)數(shù)列{an}與{bn}，{an}是等差數(shù)列，a1=2，且a3+a4+a5=33；b1=1，記{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（3）若cn=an+13bnSn+1=23Sn+1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn。

本考題在第（3）問中可得出數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式cn=n·32n-1，n∈N+。將數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式看成是等差數(shù)列{n}和等比數(shù)列32n-1相乘而得，因此在數(shù)列{cn}前n項(xiàng)和Tn=1·320+2·32+3·322+…+n·32n-1……①的兩邊同時(shí)乘以等比數(shù)列32n-1的公比32得：

32Tn=1·32+2·322+…+n-1·32n-1+n·32n……②。用①-②得：

-12Tn=320+32+322+…+32n-1-n·32n……③。

而320+32+322+…+32n-1是等比數(shù)列32n-1的前n項(xiàng)和，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式Sn=a11-qn1-q將a1=1，q=32代入公式得：

320+32+322+…+32n-1=2·32n-1。代入③整理得：

Tn=（2-n）·32n-2。

數(shù)列是中職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，又是將來升入高校學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。在對口高考中都占有重要的地位。數(shù)列求和是對口高考對數(shù)列知識考查的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的方法和技巧。以上是江蘇省對口高考新高考數(shù)學(xué)考試中數(shù)列綜合題應(yīng)用的四種求和方法，中職生只有真正掌握了解決中職數(shù)學(xué)數(shù)列的求和解題方法和技巧，才能提高解題效率，在將來的對口高考中遇到同類型的求和問題能夠輕松準(zhǔn)確的解答出來。

作者簡介：

丁恩安，江蘇省高郵市菱塘民族中等專業(yè)學(xué)校。endprint