混沌理論基礎(chǔ)及其應(yīng)用

摘 要： 在混沌系統(tǒng)誕生之前，人們普遍認(rèn)為世界上存在兩種系統(tǒng)，第一種行為模式受到嚴(yán)格規(guī)律控制的系統(tǒng)，而第二種行為模式具有隨機(jī)性，不可控制的系統(tǒng)，隨著人類對(duì)自然的不斷探索，越來(lái)越多的現(xiàn)象是上述兩種系統(tǒng)解釋不了的，所以，一種新的系統(tǒng)，貌似隨機(jī)的確定性系統(tǒng)即混沌系統(tǒng)誕生了，隨后，該種系統(tǒng)及其理論被應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科，各個(gè)領(lǐng)域，大到宇宙天體，小到蟲(chóng)口數(shù)量的研究，本文將給出混沌的相關(guān)概念，以及混沌在數(shù)學(xué)學(xué)科的幾種定義，并給出混沌理論在蟲(chóng)口數(shù)量研究上的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 混沌系統(tǒng)；蟲(chóng)口模型；混沌理論

一、 混沌的相關(guān)概念

混沌的本質(zhì)：簡(jiǎn)單的個(gè)體遵循簡(jiǎn)單的規(guī)律，相互作用可以建立復(fù)雜和不可預(yù)測(cè)的行為。

混沌系統(tǒng)：有序和無(wú)序共存的系統(tǒng)，該系統(tǒng)內(nèi)部具有很多不可預(yù)測(cè)的偶發(fā)事件，但決定各要素行為的基本規(guī)律確實(shí)能夠分析和掌握的。

混沌理論：對(duì)不規(guī)則而又無(wú)法預(yù)測(cè)的現(xiàn)象及其過(guò)程的分析，其主導(dǎo)思想是宇宙本身處于混沌狀態(tài)，在其中某一部分似乎并無(wú)關(guān)聯(lián)的事件間的沖突會(huì)給宇宙的另一部分造成不可預(yù)測(cè)的結(jié)果。

二、 混沌的幾種定義

1. 李 約克混沌

設(shè)（X，f）是緊致的，d是X的一個(gè)拓?fù)涠攘浚O(shè)X0X不空，若存在不可數(shù)的集合SX0，滿足

ⅰ）limsupd[fn（x），fn（y）]>0，x，y∈S，x≠y，

ⅱ）liminfd[fn（x），fn（y）]=0，x，y∈S，

則稱f在X0上是在李 約克意義下混沌的。

2. R.L.Devaney混沌

設(shè)（X，f）是緊致的，如果f滿足下面三個(gè)條件，

ⅰ）f是拓?fù)鋫鬟f的；

ⅱ）P（f） =X，（P（f） 為f的周期點(diǎn)集）；

ⅲ）若存在δ>0，對(duì)x∈X和x的任意鄰域Ux，y∈Ux，n>0，滿足d[fn（x），fn（y）]>δ，即f對(duì)初值敏感依賴，則稱f在R.L.Devaney意義下是混沌的。

3. 修改的R.L.Devaney混沌

ⅰ）f是拓?fù)鋫鬟f的；

ⅱ）若存在δ>0，對(duì)x∈X和x的任意鄰域Ux，y∈Ux，n>0，滿足d[fn（x），fn（y）]>δ，即f對(duì)初值敏感依賴，則稱f在修改的R.L.Devaney意義下是混沌的。

三、 混沌理論的應(yīng)用

蟲(chóng)口模型

假設(shè)存在一種昆蟲(chóng)，在不產(chǎn)生世代更替的條件下，如果某一年蟲(chóng)卵的數(shù)量多于某一數(shù)值時(shí)，則蟲(chóng)口數(shù)量增加，使得其內(nèi)部競(jìng)爭(zhēng)力增大，由于食物和空間的有限，蟲(chóng)子之間互相廝殺，導(dǎo)致蟲(chóng)口數(shù)量減少，由于正面因素和負(fù)面因素的共同作用，通過(guò)數(shù)學(xué)建模，經(jīng)過(guò)一系列的抽象與變換，最后的蟲(chóng)口方程

xn+1=λxn（1-xn） （1）

（1）中xn代表第n代相對(duì)蟲(chóng)口數(shù)量，xn+1代表第n+1代相對(duì)蟲(chóng)口數(shù)量（n=1，2，…），假設(shè)環(huán)境所能容納的最多蟲(chóng)口數(shù)目為N0，第n代蟲(chóng)口數(shù)量為Nn，則xn= Nn N0 ，由上式知xn≤1，從而xn∈[0，1]，xn+1∈[0，1]，而λ為系統(tǒng)的控制參數(shù)，當(dāng)λ>4時(shí)，蟲(chóng)口模型不是收斂的，此時(shí)xn>1，與實(shí)際條件相悖，故有λ∈[0，4]。

四、 結(jié)論

通過(guò)實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)了混沌現(xiàn)象對(duì)初始條件的敏感性，證實(shí)了混沌狀態(tài)下的系統(tǒng)對(duì)初始條件是極為敏感的，正如我們所熟知的蝴蝶效應(yīng)一樣，即使一個(gè)細(xì)小的行為，都可能帶來(lái)一個(gè)如颶風(fēng)般嚴(yán)重的結(jié)果，如今，混沌理論的應(yīng)用極其廣泛，政治，軍事，經(jīng)濟(jì)，教育，科學(xué)研究等都能看到混沌理論的存在，所以，日后對(duì)其深入的研究無(wú)疑會(huì)給我們的生活帶來(lái)重要影響。

參考文獻(xiàn)：

[1]周作領(lǐng).符號(hào)動(dòng)力系統(tǒng)[M].上海科技出版社，1997（12）.

[2]朱云東，鐘玉琢.混沌基本理論與教學(xué)設(shè)計(jì)發(fā)展的新方向[J].電化教育研究，1999（5）.

[3]張建樹(shù)，菅忠，于學(xué)文.混沌生物學(xué)[M].科學(xué)出版社，2006（2）.

[4]劉宗華.混沌動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)及其應(yīng)用[M].高等教育出版社，2006（1）.

作者簡(jiǎn)介：

劉凡，吉林省四平市，吉林省吉林師范大學(xué)。endprint