一道2017年浙江省高考數學題的競賽背景分析

沈東蕓+王向東

摘 要： 由于競賽數學和高考制度的改革，高考數學與競賽數學的聯系越來越緊密，出現了很多以競賽數學為背景命制的高考題.本文以2017年高考數學浙江卷壓軸題——數列問題為例，探究其競賽背景及二者的區別和聯系，以及給出數列這一模塊知識的教學啟示.

關鍵詞： 高考題；競賽數學；數列

一、 引言

競賽數學是指主要研究IMO試題、IMO候選題和各國各類競賽題的體系，涉及幾何、數論、代數、組合這幾個模塊的知識，重點考查學生的數學能力.近年來，一些競賽試題已經滲透到高中數學試題中，特別是高考數學題.例如，筆者在2017年的數學高考卷中發現浙江卷文理科壓軸題就有濃厚的競賽數學背景.這道壓軸題是有關數列的問題，數列問題作為高中數學和競賽數學的重點問題，筆者認為有必要對高考題和競賽題中的數學問題進行研究.因此，本文以2017年高考數學浙江卷壓軸題為例，對其競賽數學背景進行分析.

二、 問題及其背景分析

問題1 （2017·高考數學浙江卷理科第22題） 已知數列{an}滿足：

x1=1，xn=xn+1+ln（1+xn+1）（n∈ N *）.證明：當n∈ N *時，

（1）0

（2）2xn+1-xn≤ xnxn+1 2 ；

（3） 1 2n-1 ≤xn≤ 1 2n-2 .

解析： （1）用數學歸納法證明.（2）略.

（3）由2xn+1-xn≤ xnxn+1 2 ，得 1 2n+1xn+1 ≥ 1 2nxn - 1 2 n+2.

將 1 2nxn ≥ 1 2n-1xn-1 - 1 2 n+1，...， 1 22x2 ≥ 1 21x1 - 1 2 2累加，得 1 xn ≥2n-2+ 1 2 >2n-2，

所以xn≤ 1 2n-2 ，右邊得證.

又因為ln（1+xn+1）≤xn+1，所以xn=xn+1+ln（1+xn+1）≤2xn+1，即 xn+1 xn ≥ 1 2 ，

因此 xn x1 = xn xn-1 · xn-1 xn-2 ·…· x2 x1 ≥ 1 2n-1 ，左邊得證。

問題2 （2011·全國高中數學聯賽湖北省預賽） 已知數列

{an}滿足：a1= 1 3 ，an+1=an+ a2n n2 ，n∈ N *.證明：對一切n∈ N *，有（1）an 1 2 - 1 4n .

解析： （1）由題意易知，an>0，故an+1-an= a2n n2 >0，從而an+1=an+ a2n n2 - 1 n2 .

當n≥2時，將 1 an - 1 an-1 >- 1 （n-1）2 ，…， 1 a2 - 1 a1 >- 1 12 這（n-1）個式子相加，得

1 an - 1 a1 >-2+ 1 n-1 ，從而 1 an >1+ 1 n-1 >1，因此an<1；

又a1= 1 3 <1，故an

（2）略.

比較以上問題1和問題2，從中可以看出兩道試題的問題主干結構是一樣的，只是給出的條件類型不一樣；其中問題1的（1）、（3）小題就是取材于問題2的2個小題.雖然問題結構很相似，但是解法有所不同.例如在問題1的第（1）題中用數學歸納法證明0

三、 教學啟示

數列問題既是重點也是難點，題目靈活多變，而且很多數列高考題都具有競賽數學背景.近年來，浙江卷都是以數列問題作為壓軸題，題目難度不小.因此，對高中數學教師在數列這一知識模塊的教學提出了更高的要求，筆者認為：第一，高中教師要豐富自己的知識體系，要掌握競賽數學中數列問題的類型、解法以及所涉及的數學思想方法，能將競賽中和高考中的數列問題建立聯系，也能看到他們的區別；第二，在教學進度和教學大綱允許的基礎上，在教學過程中根據學生對知識點的理解情況，立足基礎，逐漸滲透一些具有競賽數學背景的數列綜合性、探究性問題；第三，由于這類型問題難度系數大，因此教師要善于將這些數列問題進行歸類，常用的數列性質、總結解題方法以及注重各種數學思想方法的培養.

作者簡介：

沈東蕓，王向東，廣東省佛山市佛山科學技術學院數學與大數據學院。