用數學方法研究微管軸對稱波在粘彈性介質中的傳播

摘 要： 用數學方法從理論上分析了微管作為正交各向異性圓柱殼模型在粘彈性介質中的軸對稱波的傳播特性，粘彈性介質通過Kelvin模型描述對微管的作用，利用數學中的數值計算方法得到了粘彈性介質與微管的結合增大了微管的波傳播波速，從而增大了微管的固有頻率。

關鍵詞： 微管；粘彈性介質；軸對稱波；數值計算

微管存在與幾乎所有的細胞中，作用非常大，它是細胞骨架的主要組成之一，而細胞骨架與疾病密切相關。微管為一中空圓柱狀結構，內徑約15nm，外徑約25nm，管壁厚約6～9nm，長度不確定。由二聚體螺旋盤繞裝配成微管的壁，13個二聚體圍成一周，故在切面下可見微管由13個原纖維構成。微管的力學特性與微管在細胞中的作用密切相關，如細胞分裂、細胞運動、細胞運輸。微管的力學特性是人們研究的熱點，特別是微管的振動、波的傳播以及動力不穩定性。文獻主要討論了微管中波的傳播和振動，文獻對微管在水中的波的傳播。但是對于彈性介質中的微管中的波的傳播比較缺乏，特別是粘彈性介質研究非常少。另外，微管周圍的物質復雜多樣，有多種蛋白質構成，如微管相關蛋白MAP1，MAP2，微管裝飾蛋白tau等，呈現出粘彈性性質。本文基于上述情況，利用正交圓柱殼模型，應用數學方法和數值計算方法對微管在粘彈性介質中的軸對稱波的傳播特性進行了分析，得到了一些結果。

一、 Kelvin模型和微管的控制方程

物質的線粘彈性介于線彈性和理想粘性之間，因而可以用模型表示和描述。最基本的模型Kelvin模型，Kelvin模型由彈簧和阻尼器并聯而成，兩個元件的應變都等于模型的總應變，而模型的總應力為兩元件應力之和。如圖所示：

近年來大量試驗證實了微管呈現各向異性特性，正交各向異性殼有四個獨立的材料常數，軸向彈性模量Ex，環向模量Eθ，剪切模量Gxθ，軸向泊松比νx且滿足關系式 vθ vx = Eθ Ex ，平均等價厚度h≈2.7nm有效厚h0=1.6nm，微管拉伸剛度Kx，Kθ，Kxθ，微管彎曲剛度Dx，Dθ，Dxθ，且Kx= Exh 1-vxvθ ，Kθ= Eθh 1-vxvθ ，Kxθ=Gxθh，Dx= Exh30 12（1-vxvθ） ，Dθ= Eθh30 12（1-vxvθ） ，Dxθ= Gxθh30 12 ，假設微管在粘彈性介質中，粘彈性介質為各向同性線性體，微管周圍受到粘彈性介質力的作用，根據Flugge理論給出圓柱殼的平衡運動方程：

Nx x + Nθx rθ +px=ρh 2u t2 ， Nxθ x + Nθ rθ - Mθ r2θ + Mxθ rx +pθ=ρh 2v t2

2Mx x2 + 2Mxθ rθx + 2Mθx rθx + 2Mθ r2θ2 + Nθ r +pz=ρh 2w t2 （1）

式中Nx，Nθ，Nθx，Nxθ，Mx，Mθ，Mxθ，Mθx分別表示薄膜力，薄膜矩，px，pθ，pz為微管周圍粘彈性介質作用在微管上的軸向載荷，切向載荷，徑向載荷。對于正交各向異性材料，薄膜力Nx，Nθ，Nxθ，Nθx和力矩量Mx，Mθ，Mxθ，Mθx與位移u，v，w的表達式為：

Nx=Kx u x + νθ r v θ -w + Dx r · 2w x2 ，Nθ=Kθ 1 r v θ -w +νx u x - Dθ r3 w+ 2w θ2

Nxθ=Kxθ u rθ + v x + Dxθ r2 v x + 2w xθ ，Nθx=Kθx u rθ + v x + Dxθ r2 u rθ - 2w xθ

Mx=-Dx 2w x2 + νθ r2 · 2w θ2 + 1 r u x + νθ r · v θ ，Mθ=-Dθ 1 r2 · 2w θ2 +νx 2w x2 + w r2

Mxθ=- 2Dxθ r 2w xθ + v x ，Mθx=- 2Dxθ r 2w xθ - 1 2r · u θ + 1 2 · v x （2）

把（2）代入得到微管在粘彈性介質中的三個控制方程：

r2 2 x2 +β（1+γ）· 2 θ2 ·u+ （ανx+β）·r· 2 xθ ·v+ -ανxr· x +γ·r3· 3 x3 -β·γ·r· 3 xθ2 ·w+ r2 ρhS2L px= r SL 2· 2u t2

（ανx+β）·r· 2 xθ ·u+ α· 2 θ2 +β·（1+3γ）·r2· 2 x2 ·v+ -α· θ +γ·（αvx+3β）·r2· 3 x2θ ·w+ r2 ρhS2L pθ= r SL 2· 2v t2

ανxr· x -γ·r3· 3 x3 +γ·β·r· 3 xθ2 ·u+ α· θ -γ·（ανx+3β）·r2· 3 x2θ ·v+ -γ·r4· 4 x4 -2γ·（ανx+2β）·r2· 4 x2θ2 -α·γ· 2 θ2 +1 2-α ·w+ r2 ρhS2L pz= r SL 2· 2w t2 （3）

由于微管周圍介質的復雜性及沒有相關文獻對其力的大小研究，文中運用Kelvin模型把微管與周圍粘彈性介質相連接，運用此模型可以用位移表示px，pθ，pz，表示形式：px=-k0u-η0 u t ，pθ=-k1v-η1 v t ，pz=-k2w-η2 w t 。

式中k0，k1，k2，η0，η1，η2為彈簧對外界作用系數和阻尼系數。

二、 在粘彈性介質中的軸對稱波

假設微管軸對稱波的形式解：

u（x，t）=Ueik*x（x-ct），v（x，t）=Veik*x（x-ct），w（x，t）=Weik*x（x-ct） （4）

其中，軸向、環向和徑向位移U、V和W都是復系數，軸向波半波數為復數即k*x=Rekx+iImkx。endprint

將（4）代入（3）整理得

-c2k2 S2L +k2+ r ckη0-rk0 ρhS2L ·U+{γk3-kανx}·W=0

-c2k2 S2L +k2β（1+3γ）+ r（ckη1-rk1） ρhS2L ·V=0

{kανx-γk3}·U+ -c2k2 S2L -γk4-αγ-α+ r（ckη2-rk2） ρhS2L ·W=0 （5）

其中k=ik*xr，K=rk*x，r是微管的平均半徑，kx為微管軸向波的半波數，由（5）第二式可以直接解出一個切向波的波速c，第一和第三式改寫成矩陣形式：H2×2· UW =0，Det[H2×2]=0，且上式[U W]有非零解，從行列式為零直接能得到另外兩個方向上波的波速c。

三、 軸對稱波的傳播結果及分析

根據少量文獻中的擬合實驗結果提供的數據且假設微管周圍的粘彈性體線性各向同性，得到彈性系數：111.59±49.49kg/m2s2，粘性系數：55.96±38.02kg/m2s。為了更好的比較，計算了各向同性微管的波傳播特性，結合上述材料參數值和下列數據r=12.8nm，E=1GPa，v=0.3，α=1，β=0.35，γ=0.0008計算各向同性微管的波的傳播特性Ex=1GPa，vx=0.3，α=0.001，β=0.001，計算正交各向異性微管的波的傳播特性。為了突出黏彈性介質的作用和單個微管的波傳播特性的比較，軸向波數的實虛部比取為1來處理和計算。波速取了傳播部分，頻散部分沒有畫，這部分表示了波的能量耗散。k0=k1=k2=4.32×10-6kg/m2s2～4.32×106kg/m2s2，η0=η1=η2=2.538×10-7kg/m2s～2.538×105kg/m2s為了突出微管周圍介質的復雜多樣性和變化性，通過大量的數據計算，結果如圖1和2所示：

圖1 彈性參數4.32×104kg/m2s2黏性參數 2.538×104kg/m2s時各向同性微管軸對稱波的波速

圖2 彈性參數4.32×104kg/m2s2黏性參數 2.538×104kg/m2s時各向異性微管軸對稱波的波速

從圖中可以看出，在粘彈性介質中，各向同性或異性圓柱殼模型，徑向波的波速總是和軸對稱振動和徑向傳播相一致，當K足夠小時，波速隨著波向量的增大而減小，當K足夠大時，波速隨著波向量的增大而減小，所以徑向波的波速在K的某一特定值時，能達到最小。在粘彈性介質中，各向同性微管徑向波的波速變小，而且隨著外界彈性和黏性系數的變大波速變小。對于在粘彈性介質中的另外兩種波，扭轉波和縱向波的波速基本上不隨著K的變化而變化，而是一個定值；在K<1時，縱向波和扭轉波的波速都隨著K的增大而增大，在K較大時縱向波和扭轉波的波速趨向定值。這就是說參數較小時周圍的粘彈性介質對各向同性微管的縱向波和扭轉波影響非常小，參數較大時這兩種波的波速變小。

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作者簡介：

錢小三，上海科技管理學校工程系。endprint