讓數學課富有“數學味”

2006年，《湖南教育》理科版1月號刊登了瀟湘數學教育工作室的長篇討論文章《讓數學課富有“數學味”》，批判了當時數學課堂上沒有遵循數學規律的一些怪現象，提出了數學課堂要有“數學味”的觀點，引起了老師們的廣泛共鳴。12年后的今天，回過頭來看我們當時的討論，數學課堂要有“數學味”這個觀點非常正確且具有前瞻性。我們在文章中列出的一些現象已經被老師們詬病。老師們在教學中，也針對自己的教學理念、教學行為等進行反思與改進，課堂教學面貌有了很大的改觀。但是，12年來，數學課堂上缺少“數學味”的現象依然存在。比如，某位名師上“烙餅問題”這一內容，竟然帶著鍋子和餅進課堂；某位老師上“比長短”一課，竟躺在地上，等等。這樣的課堂，是那些表演公開課的“課帝”們的作秀，對天天面對實實在在課堂的一線老師們來說，是百害而無一利的。為此，我們重新刊發《讓數學課富有“數學味”》文章，并再次討論這個話題，為一線數學老師指明教學方向。討論主要分以下四個方面：第一，為什么要再談數學課的“數學味”問題；第二，有“數學味”的課有哪些主要特征；第三，導致沒有“數學味”的一些錯誤做法；第四，數學課回到“數學味”，老師們的功夫要下在哪里。老師們可以針對以上四個方面提出自己的看法，也可以將您看到的或者經歷過的沒有“數學味”的教學現象形成文字發送至編輯郵箱：shenjch66@126.com，zyb0522@126.com。我們將陸續予以刊發。期待老師們的來稿！

數學課要有“數學味”，這幾乎是一個不證自明的公理。可時下，有不少數學課堂中“數學味”不濃，甚至嚴重缺失，這是為什么？“數學味”哪里去了？我們應該找回數學課中丟失的“數學味”，還數學課以本來面目！

缺少“數學味”的課堂案例

案例1找規律（人教版一年級下冊）

教師準備了一個箱子，箱子里裝有若干小圓柱和小正方體。教師先拿出一個小圓柱并將其握在手中，不讓學生看到。

師：請同學們猜一猜，老師從箱子里拿出了什么？

生1：橡皮！

生2：卷筆刀！

生3：水果糖！（生大笑）

師：老師手上拿的是一個我們學過的幾何圖形，再猜猜。

生4：長方形。

生5：正方形。

生6：圓形。

師：（將圓柱放在講臺上）大家看看，是什么？

生：圓柱。

教師又從盒子里拿出了一個小正方體，同樣不讓學生看到。

師：老師又從盒子里拿出了一樣東西，大家再猜猜，是什么？

生7：還是圓柱！

師：不對。

生8：長方體。

師：不對。

生9：正方體。

師：（出示小正方體）對了。

教師把小正方體擺在小圓柱后面，又拿出了一個小圓柱，同樣不讓學生看到。于是，猜測還在繼續……

案例20的加減法（人教版一年級上冊）

師：（出示下圖）小朋友們看到了什么？

生1：窩里有3只小鳥，它們叫得很高興。

師：你的想象力很豐富。其他小朋友要向你學習。

生2：后來它們都去找媽媽了！

師：說得真好。

生3：不是去找媽媽，而是小鳥們餓了，去找吃的了。

師：你會用“不是……而是”，你的詞匯真豐富。

生4：不對，小鳥不會自己去找吃的，都是媽媽找回來喂給它們吃的。

師：哦，你怎么知道的呀？

生4：我從書上看到的。

師：你的知識真豐富，老師佩服你！

……

案例3噸的認識（蘇教版三年級下冊）

師：同學們，玲玲家上個月用水7噸，當玲玲知道我們國家還是一個缺水的國家，很多地方飲水都有困難，玲玲家決定這個月節約用水1噸。請大家幫玲玲家出出主意，怎樣節約用水？

生1：這個月只洗兩次澡。（生大笑）

生2：用洗臉的水洗腳。

師：說得好，也就是水可以重復利用。

生3：可以用洗臉的水洗腳，再用洗腳的水沖廁所。

生4：洗完菜的水也可以先留著，還可以做別的用。

生5：漱口的時候，要關水龍頭。

……

案例4相似三角形的識別（華東師大版八年級上冊第18章第3節）

師：上一節課我們已知道，要識別兩個三角形是否相似，必須知道它們的對應角是否相等、對應邊是否成比例。那么，是否還有比較簡便的識別方法呢？

教師出示兩個含有角的三角尺，其中一個為教具，另一個為學生用的小三角尺。

師：請同學們認真觀察這兩個三角尺，看看它們有什么關系。

生1：它們的形狀相同，只是大小不一樣。

生2：這兩個三角尺相似。

教師提示再觀察它們的角。

生3：兩個三角尺的三個角分別相等。

生4：但兩個三角尺的邊長不相等。

師：同學們觀察得很仔細，這兩個看起來相似的三角尺，它們的對應角分別相等。老師現在的問題是（板書）：如果一個三角形的三個角分別與另一個三角形的三個角對應相等，那么它們相似嗎？

學生議論紛紛，有很多學生都說“相似”。

師：很好！同學們實際上已發現了一個很好的結論。你們怎么驗證這個結論呢？請與周圍的同學討論討論。endprint

學生開始討論，隨后匯報。

生5：沿三角尺的內框和外框各畫一個三角形，然后量出兩個三角形的邊長，計算對應邊的比值。

師：××同學的想法很好，這樣畫就保證了兩個三角形的對應角都相等。只是畫的圖形比較特殊，是直角三角形。請思考，如果是兩個任意三角形呢？

生6：我先任意畫一個三角形，用量角器量出它三個角的大小，再畫一個三角形，使它的三個角分別等于前面畫的三角形的三個角。后面與××同學的做法一樣。

師：說得真好。請同學們按她的這種方法，兩人一小組試一試。

學生動手進行實驗，教師巡視并個別指導。

師：現在我們把各組的結果交流一下。

生7：我們組算得三個比值分別是1.22、1.21、1.24。

生8：我們組算得三個比值分別是1.5、1.5和1.4。

生9：我們組算得三個比值分別是2.34、2.36、2.32。

……

在這一過程中，多數學生都未得到三個比值相等這一結果，還有學生說除不盡。

師：剛才，××與××同學已經驗證了，三個角分別相等的兩個三角形，它們對應邊的比也相等。從其他同學得出的結果也可以看出，對應邊的比值大致相等。可見，三個角分別相等的兩個三角形相似。

生1：老師，三個角對應相等，三條對應邊的比值大致相等，那么兩個三角形就相似，是嗎？

……

案例520以內的退位減法（人教版一年級下冊）

師：（出示右圖）你從圖中看到了什么？

生1：我看到了兩只小貓。

生2：我看到了好多金魚，有花金魚、黑金魚。

師：你能提出一個數學問題嗎？

生3：黑金魚有多少條？

師：你知道黑金魚有多少條嗎？你是怎么知道的？

生3：黑金魚有5條。我是數的。

師：你能列一個算式嗎？

生3：……

師：大家數一數，一共有多少條金魚？

生：13條。

師：再數一數，花金魚有多少條？

生：8條。

師：現在，你能列一個算式了嗎？

生4：13-8。

師：說得真棒，誰會算13-8？

……

導致“數學味”缺失的原因

一、缺少數學思維的活動

《數學課程標準》指出“數學教學是數學活動的教學”，對這句話的理解偏差使得我們的一些數學課堂中組織了大量的沒有數學思維的活動。觀察、操作、比較、概括、猜想、推理、交流是數學思維的活動。但是，這些在活動過程中得不到應有的體現，使得數學課堂失去了“數學味”。

案例1中，因為學生確實不知道老師拿出了什么，只能亂猜，可終究猜不出名堂。教師只好拿出圓柱擺在講臺上。接著，教師又從盒子里拿出了一個小正方體，同樣讓學生猜這次拿出的是什么。有了上次的經驗，學生這次首先猜圓柱，當然不對。不過這次學生猜測的范圍小了些，主要集中在已認識的幾何體上，并且最終猜到了正方體。教師把小正方體擺在小圓柱后面，又拿出了一個小圓柱，于是，猜測還在繼續……

毫無疑問，在這個案例中，學生在教師組織下進行了大量的“猜測”活動，作為這些活動的結果，課堂里出現了大量的“猜想”。然而，盡管如此，我們認為，這樣的教學是缺少“數學味”的教學。原因很簡單：這里的“猜測”及其結果與數學中的猜想無關。數學中的猜想是合情推理，是觀察和歸納的產物。也就是說，要得到數學上的關于某事物的猜想，首先得呈現該事物的一部分以便觀察，然后對觀察結果進行去粗取精、去偽存真的處理，達到從個別事物向一般性事物過渡的目的。同樣地，你想讓學生猜你手中拿的是什么，就得讓學生觀察你以前都拿了些什么，都是按什么規律拿的。否則，從第一個就開始猜，這只能是猜謎語，甚至比猜謎語還荒唐，猜謎語還有一個謎面，還指出“打一日常用品”之類呢。數學課不拒絕猜，但數學課上的猜必須有數學思維的活動。

案例1中，學生的思維過程應該是什么？應該是通過仔細觀察，應用不完全歸納的方法得到一個猜想，并把這個猜想作為規律加以應用，得到“后面的一個應該是什么”。如果說得到猜想（在這里被稱為規律）的過程是一個合情推理的過程的話，得到“下一個是什么”就應該是一個邏輯推理的過程。不展現這個思維過程，就會使該環節的“數學味”缺失。

其次，案例1中所要教學的規律到底是什么？教師們通常認為是“周期性”，當然這很難跟學生講清楚。不過只要是規律，就能夠、也必須得到概括的表達。一年級學生能認識的規律就應該、也必須用一年級學生能夠接受的方式進行概括的表達。比如下面的這一組圖形，規律是什么？

只要教師適當引導，學生是能用自己的語言進行表達的。在課堂中，就有一個學生說：“是按1、2、1、2一直這樣下去的。”事實上，這就是一種概括的表達。如果學生能在教師的引導下，說出“一個圓柱和一個正方體為一組，這樣一組一組地排下去”，或者“單數個都是圓柱，雙數個都是正方體”等，“數學味”就凸顯出來了。

二、刻意追求學科的整合與滲透，讓數學課堂承載過多的功能endprint

案例2與案例3中，對如此不著邊際的討論，教師只一味地肯定。于是，學生們繼續你一言、我一語地討論著，范圍越來越廣，氣氛越來越熱烈。教師幾次想調整思路，而每次都欲言又止，無奈地繼續肯定著學生的發言，盡管肯定已經越來越言不由衷。這節課也越來越像看圖說話，離數學課也越來越遠。

這兩個案例有一個共同的特點，就是都關注學生的全面發展，注重學科的整合與滲透。案例2中，我們通過教師的評價“你的詞匯真豐富”“你的知識真豐富”等就可以看出。案例3中，教師更是專門設計了一個環節用來滲透環境保護教育。這些做法本來無可厚非，某種意義上還應該得到肯定。可仔細一想，數學教學的特定任務如何完成呢？比如案例2，就這樣說下去，對“相同的兩個數相減，得0”這一知識點，什么時候引導學生學習呢？再看案例3，如果我們把這個環節整體搬到語文課上，行嗎？搬到思想品德課上呢？不難看出都是可以的。可是這樣教學，除了話題的引子中有兩個地方用到了“噸”以外，與數學、與噸的認識又有什么關系呢？這樣看來，是不是說數學課上就不能做這些了呢？當然不是，我們說缺少“數學味”，是說教師沒能從數學的角度處理這些問題。比如案例3，我們可以引導學生首先對玲玲家的用水情況作一個評價，也就是估計每月用水7噸是多還是少。在這之前，教師讓學生體驗“噸”時用到了一桶水，并讓學生拎了拎這桶水，同時告訴學生這桶水重10千克，100桶這樣的水重1噸。學生此時可以估計，1個月用水7噸就是700桶水，每天得用20多桶水，應該是不少的。接下來，學生討論每月節約1噸水的可行性：每月節約用水1噸，就是每天節約用水3桶多一點，按沖2次廁所用水1桶估計，只要每天把沖6次廁所的水節約下來就可以了……在這個過程中，有解決問題的策略，有估算的方法，我們說這種處理就是有“數學味”。

綜合發展、學科整合等是時下流行的說法，站在促進學生發展的角度考慮，這種理念無疑是正確的。然而，與其他學科一樣，數學學科也有自身的特點，有特有的教育功能，也就是說數學能在促進學生發展中起到獨特的作用。忽視這種作用而刻意地追求學科的整合與滲透，會使數學課堂失去“數學味”。

“數學味”與學科的整合與滲透并沒有不可調和的矛盾，“數學味”拒絕的是，像把油加到水中一樣把其他內容機械地加到數學中，不用數學的眼光去觀察，不用數學的方法去解決。

三、過于強調通過實驗操作探索數學結論

從案例4中我們不難發現，教師為了達到教學目標（相似三角形的識別方法之一：如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似）確實動了很多腦筋，先是讓學生通過直觀感知發現結論，然后引導學生通過實驗操作確認結論。同時，教學中還積極引導學生主動探索、主動發現，適時給學生以鼓勵，激發學生的探究精神。但細細想來，這堂數學課到底缺少了點什么呢？

演繹推理是幾何的精髓，沒有了推理與論證，幾何教學就失去了靈魂。本節課從開始到結束，強調的是通過直觀感知和動手測量探索幾何結論。試想一下，一節課后學生會有什么收獲呢？是讓學生學會猜想？還是讓學生測量后以某一個例子以偏概全地總結一般性結論？抑或是讓學生記住最后的結果？如果僅僅就是為了達到這樣的要求，這還是幾何嗎？直觀感知、操作確認確實是發現和認識幾何知識的重要過程，學生通過這兩個手段認識和理解幾何公理確實無可厚非。但是，我們應該認識到，推理與論證才是發現幾何結論的關鍵。

培養科學態度和科學精神是數學教學義不容辭的責任。案例4中，當多數學生的測量結果不能驗證結論時，教師確實處于十分尷尬的境地，情急之下只好置多數學生于不顧，把個別學生的結論當作救命稻草緊緊抓住。可是這樣處理，對學生的后續學習會有什么影響呢？比如，要探討某個幾何結論是否成立———好辦！量一量就行了，大致是那樣就行了。“老師，三個角對應相等，三條對應邊的比值大致相等，那么兩個三角形就相似，是嗎？”童言無忌啊！是老師的錯嗎？不是，教材是這樣要求的。是學生測量水平低嗎？更不是，多數學生都算到了小數點后面兩位。數學中的很多東西是不能用實驗得出來的，過于強調通過實驗操作探索數學結論，必然使數學課堂失去“數學味”。

歐氏幾何的魅力就在于它嚴密的公理化體系。要使學生感受公理化思想，首先得有公理化體系，不論以哪條公理作為起點，均應該通過演繹推理得出幾何結論。“平行線等分線段定理”和“平行線分線段成比例定理”是判定三角形相似的“橋梁”。由于《數學課程標準》未將它們列入學習內容，“橋梁”斷了，相似三角形的判定就失去了演繹推理的依據，只得以所謂的“合情推理”得出一些生硬的結論，客觀上使教學變成了物理實驗，師生只能無可奈何地考慮實驗誤差。

四、沒有體現數學知識的產生和數學方法形成的必要性

案例5中，教師從引導學生搜集圖中的信息入手，組織學生提出數學問題，最后列出算式，層次很清楚。可看來看去，總覺得哪里不對，仔細一想，原來在解決此問題中減法算式是完全不必要的。

我們不妨設想一下，用列減法算式的辦法解決“黑金魚有多少條？”這個問題的步驟是怎樣的。

第一，把所有的金魚數數出來（當然花金魚、黑金魚都得數）。

第二，再把其中的花金魚數一遍。

第三，用減法計算。

盤點一下我們的工作量：我們把花金魚數了兩遍，把黑金魚數了一遍，作了一次減法，結果是知道了黑金魚有多少條。問題已經很清楚了，用這樣的情境、用這樣的方式來講減法，減法將變成多此一舉。我們經常說要注重數學知識與日常生活的密切聯系，要讓學生體會到數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具，并以此激發學生對數學的興趣以及學好數學的愿望。我們認為，只有讓學生感受到數學的確是解決現實生活中的一些問題的最有效、最便捷的手段，才能真正達到這個目的。endprint

找回數學課的“數學味”

從以上的案例與分析可見，數學課中出現沒有“數學味”的情形，原因是多方面的，有教材本身的問題，有教師在教學處理上的偏差，有教師理解上的失誤。但不管什么原因，如果一堂數學課沒有“數學味”，數學課將失去數學教育的功能，學生感受到的就不是數學的內容，而是其他雜七雜八的東西，數學知識的教學將無法達到目的。因此，我們大聲疾呼：找回數學課丟失的“數學味”！

一、什么是“數學味”

要找回數學課的“數學味”，先要明白“數學味”是什么。我們查閱了眾多的數學經典著作，都沒有發現對“數學味”的定義，甚至也難見到“數學味”這個名詞。在這里，結合數學的本質及數學教學的本質，我們認為“數學味”應該體現數學的抽象性、推理性、探索性、問題性及數學語言表達等特點。對一堂數學課來說，這些內容并不是要全部體現，但總要有那么幾項，這樣的數學課才有“數學味”。

抽象性。沒有抽象就沒有數學，很多數學知識是對實際原型進行抽象得到的。比如，長方形在現實生活中是不存在的。但是，我們對長方形形狀的桌面、窗戶、地面等進行抽象，就得到了數學上的長方形。

推理性。數學的每一個內容都是建立在一定的公理體系基礎上的，按照嚴格的推理方法，得出一系列的結論。如歐幾里得幾何就是推理的典范。

探索性。數學的每個環節的學習都是充滿探索性的，數學概念的引入、定理的證明、數學習題的解答等，無一不與探索相聯系。數學課中如果缺少了探索，那就會變成完全的灌輸，失去數學應有的味道。

問題性。問題是數學的心臟。一堂數學課總要有一兩個數學問題，才能有效地引導學生學習數學。教師所提供的數學問題不能太難，否則學生望塵莫及；如果太容易，學生不需要動腦筋就能解決，也起不到培養思維能力的作用。教師所拋出的問題應該有層次性，讓不同學習能力的學生都能夠動手，以調動全體學生的積極性。

數學語言表達。數學有特定的語言，需要用數、式、圖形等形式表達數學思維的結果。對數學思維活動的結果，教師必須引導學生用數學語言表達出來。不同學段的學生，要求的數學語言不同，但有一個總的要求，不能失去數學上的科學性。

二、如何使數學課有“數學味”

綜觀數學課堂上出現缺失“數學味”的現象，很大程度上是由于教師在理解課程改革的基本理念時出現了偏差，或者是教師本身數學專業知識不扎實造成的。這需要數學教師在數學教學實踐中，不斷領會數學課程改革的基本理念，加強專業知識學習，更要從以下幾個方面在課堂教學中加以實踐。

要求學生圍繞數學問題說話。現在，課堂內強調民主，強調學生思維的開放，解放學生的口，這些都是正確的，無可非議。但是，數學課上說很多與數學無關的內容，就有點“喧賓奪主”了。要學生說，一定要圍繞數學問題展開，不能將與數學毫無關系的內容拿到數學課上要學生說。如果學生在說的過程中脫離了數學，教師應該及時予以糾正，不要像案例2中的教師那樣推波助瀾。

設計的問題要有數學味。學生怎么想、怎么說，與教師設計的問題很有關系。如案例2中“小朋友看到了什么？”就不是一個好問題，學生難以想到要說數學方面的內容，可以改為“用一個算式表示右邊鳥窩里的小鳥數”，學生就會往算式上想，也就是要學習的內容。現在，有些數學教師認為設計的問題要有開放性，就不能限制學生的思維。這是沒有錯的。但是，開放性應該是數學問題的開放性，而不是漫無邊際的開放。數學教學最重要的特征是數學思維活動的展現，強調的是數學思維活動，而不是其他活動。

設計的操作活動應該是數學思維的活動。現在，數學課堂內大量運用活動形式開展數學內容的學習，這是符合小學生學習數學的心理特征的，值得提倡。但是，許多活動的內容不是數學所關注的，而純粹是“燒野火”，對學習數學沒有半點幫助。如果一堂數學課中這樣的活動多了，就不是數學課了，數學課也就失去了“數學味”。

一堂數學課不能承載太多的額外任務。我們曾經見過一位數學教師給一堂關于計算教學的數學課定了8個教學目標，其中有愛國主義、集體主義、數學美育、合作意識等非數學內容的教學目標。這些內容不是不要，而是要有機地滲透在教學之中。生搬硬套地進行愛國主義、集體主義教育，學生是無法體會到的；合作意識也不是光靠教師說幾句就能培養起來的，而是要使學生感受到某項活動如果沒有合作就不能完成，他們才會真正體驗到合作的重要性，進而產生合作意識。數學課最重要的任務是培養學生的數學思維能力，在這個大前提下，教師再將相關的內容滲透在數學材料中，讓學生潛移默化地感受與領悟。否則，數學課就不像數學課，反而像是思想品德課了。

準確把握數學術語的含義。《數學課程標準》強調觀察、實驗、猜測等探索性活動，部分教師由于不能把握數學上觀察、猜測的含義，將猜謎語式的活動也認為是數學上的猜測或猜想，誤導了學生，以致學生在課堂上說出許多與數學毫不相干的東西。

數學課要上出“數學味”，只有在體現數學上下功夫，才會有精彩的課堂。任何熱鬧、嘩眾取寵的數學課是達不到數學教育應有的目標的。教師們只有認真研讀數學教育理論，不斷進行數學教育實踐，才能上出富有“數學味”的數學課。為此，我們還需要付出更多的努力！

（參加討論人員：趙雄輝、申建春、向利平、張新春）endprint