如何引導初一學生發現和探索數學規律

衛拴科

[摘 要] 學生升入初中之后，學習方法、學習態度都會發現很大的變化，學生與學生之間的差距更明顯，因此，在數學教學中，需要探索數學規律，挖掘數學知識之間的內在聯系，然后綜合運用，這樣，才能進一步提高學生的數學學習成績.

[關鍵詞] 初一；數學規律；途徑

數學規律就是指數學元素（數與數、數與形、形與形等）之間的內在聯系. 探索數學規律，就是探索數學各個元素之間的相互聯系. 布魯納說過：“探索是數學的生命線，沒有探索便沒有數學的發展. ”初一學生剛剛升入初中，對較復雜的數學規律往往一頭霧水，如墜十里云霧之中，一臉迷茫，不知如何下手. 毛主席說：“入門既不難，深造也是辦得到的. ”那么，如何使學生入得其門呢？關鍵是教師要引導學生如何透過現象看本質，如何找到探究問題的切入點，這才是至關重要的. 初一數學中的數學規律問題雖說千變萬化，卻萬變不離其宗，還是有規律可循的. 事實上，探索數學規律就是對事物（數學元素之間）進行一般化的表示. 也就是如何對事物的內在聯系從具體和特殊入手，經過觀察、類比、分析、歸納、猜想、驗證的過程，再到抽象、一般的過程. 認識到“普遍性”寓于“特殊性”之中，也就是尋找藏在“個性”當中的“共性”. 沒有特殊性就沒有普遍性. 人的認識過程往往要經歷由特殊到一般，再由一般到特殊兩個階段，然后建立通式化的數學模型，這就要求教師要引導學生從觀察問題入手，觀察不同的數、形和前后左右的數、形之間有什么關聯，經過分析比較，在頭腦中有一個初步的猜想，再把它歸納概括和數學化，得出結論，然后驗證結論的合理性，最后得出規律性的東西. 在這個過程中，觀察是先導，切入是關鍵，發現是重點，也是難點，它是學生感性認識向理性認識的飛躍. 因此，在教學中，教師的作用就是引導學生從何處來切入，如何在山重水復無路之地找到柳暗花明的另一村.

從圖形上觀察、比較、猜想，發現數學規律

觀察數學圖形可通過對數學圖形的結構進行分割，尋找圖形的上下、左右、內外等之間的某種聯系，從而發現規律.

例如，觀察直角三角形的內角和、銳角三角形的內角和、鈍角三角形的內角和都是180°（特殊圖形），從而猜想任意三角形（一般三角形）的內角和也是180°. 然后通過把任意一個三角形的三個角剪下來拼在一起去驗證這個結論. 學生在實驗當中不知道應該去觀察圖形的什么：是頂點，是三邊關系，內角和，外角和還是觀察其他的什么. 此時教師就要引導他們從三角形的內角和去切入，去入手. 因為越是熟悉的東西，人們往往越熟視無睹. 然后，可以引導學生再由淺入深、由表及里地去觀察三角形的外角和，三邊之間的關系，三角形的內心、外心、垂心、重心、旁心等，進一步由此及彼對四邊形、五邊形等進行觀察、分析、歸納. 這正像一位哲人說的，“這世界并不缺少美，而是缺少發現美的眼睛. ”因此，教師要引導學生發現、探索數學規律的切入點. 事實上，自然界有很多規律并不難發現，而是難于不知從何處切入.

從數的特點去切入，去發現

數的前后左右上下內外之間有時乍看無規律可循，但經仔細觀察，看它們之間是否有奇偶關系、平方關系、立方關系、和差關系等，往往會靈機一動，靈感突至，有意想不到的收獲. 因此，對初一的學生來說，教師在引導學生探索規律之前，平時要多注重學生對偶數（2n）、奇數（2n-1，2n+1）等一些特殊數的表示的知識積累和鋪墊，這樣才能不至于有“書到用時方恨少”的感嘆. 其次，教師還要引導和幫助學生分析給定的一列數是否是等差數列或等比數列. 再看分子、分母之間有什么關系，或分子與分子、分母與分母之間有什么關系，再進一步看它們之間和序號有沒有平方、立方、和差關系、倍數關系，這樣，復雜的問題也會變得輕而易舉和得心應手.

例1 觀察下面一系列等式，你能發現什么規律？請用代數式表示這個規律.

32-12=8=8×1；

52-32=16=8×2；

72-52=24=8×3；

92-72=32=8×4

…

分析 經過觀察不難發現，等式的左邊是1，3，5，7，9…的平方，而左邊的底數1，3，5，7，9…是奇數，此刻立即想到奇數可表示成2n-1，2n+1，又結合序號，便想到等式的左邊可表示成：（2n+1）2-（2n-1）2. 等式右邊是8的1倍、2倍……，結合序號，可寫成8n（n為自然數）.

例2 找出下面數列的規律，并填空.

（1）2，7，12，17，______，…，______（第n個數）；

（2）1，8，27，64，______，…，______（第n個數）.

分析 （1）中相鄰的兩個數都相差5，是一個等差數列，故第n個數就等于首項+5（n-1），即5n-3，這也是它的通項.

（2）中的數為1，8，27，64…因為13=1，23=8，33=27，43=64，…由此可知下一個數是53，即125，自然，第n個數就是n3.

通過列表，分析數據特點和聯系

通過列表，把數據列出來，分析數據的特點（平方關系、立方關系等），再找出數據與序號之間存在著怎樣的關系，便可探究出這一類題的規律，收到觸類旁通的效果. 例如折紙、拉面問題等.

例3 將一張長方形的紙對折，可得到一條折痕，繼續對折，對折時每次折痕與上次的折痕保持平行. 連續對折6次后，可以得到幾條折痕？想象一下，如果對折10次，有多少條折痕？那么對折n次呢，會有多少條折痕？

分析 因為從第二次折疊起，每一次折痕的條數等于在保留前面折痕的條數的基礎上，再加上上一次新增的折痕條數的2倍，列表如表1.

分析圖形關系，培養探究能力

對于圖形問題，主要引導學生分析并尋找圖形中的包含關系、對稱關系、倍數關系、遞增關系、衍生關系等，“快刀斬亂麻”，透過現象發現規律，從而培養學生的觀察能力、探究能力.

例4 圖1中的圖形是由邊長為1的小正方形按照某種規律排列而成的.

觀察圖形，填寫下表：

分析 教師可引導學生觀察這組圖形中的任意一個是以中間這一列長方形（由小正方形構成）為對稱軸的軸對稱圖形. 中間這一列長方形中小正方形的個數是序號加1，即中間這一列有（n+1）個小正方形，中間這一列長方形的每一邊（左、右）都有2n+1個小正方形，兩邊共有2（2n+1）個小正方形，因此圖中小正方形的總數是（n+1）+2（2n+1）=5n+3. 而圖形的周長的計算方法則有多種. 這里只舉一種：圖形的周長等于橫的正方形組成的這個長方形的周長加上三個豎的長方形（不包括已算過的橫的長方形中的小正方形）的長的6倍. 圖形中橫排長方形的長為2n+3，三個豎排長方形的長為n，因此圖形的周長就等于（2n+3+1）×2+6n=10n+8.

例5 如圖2，圖①中互不重疊的三角形共有4個；圖②中互不重疊的三角形共有7個，圖③中互不重疊的三角形共有10個，………則第n個圖形中，互不重疊的三角形共有______個（用含n的代數式表示）.

分析 在這個題中，教師要引導學生觀察并發現每一個圖形中最里面的一個三角形，在下一個圖形中又包含（3+1）個三角形，這樣不斷衍生下去，我們就不難發現其中的規律：

運用綜合分析的方法，幫助和引導學生探究數學規律

在圖形難以直觀和一目了然的情況下，我們要幫助學生另辟蹊徑，尋找探究數學規律的方法. 但這種綜合分析的方法對學生思維的要求較高，學生不易掌握. 但一經掌握，便能左右逢源，使許多數學問題迎刃而解，這對學生來說獲益匪淺.

例6 在同一平面內，3條直線兩兩相交，最多有3個交點；那么4條直線兩兩相交，最多有______個交點；8條直線兩兩相交，最多有______個交點；n條直線兩兩相交，最多有______個交點.

總而言之，初一數學有關數學規律方面的問題林林總總、包羅萬象，教師要引導學生探究數學規律，就必須首先幫助和引導學生尋找問題的切入點，這是探究數學規律的突破口. 其次，教師要鼓勵和引導學生發展有條理的思考. 只有這樣，才能使學生有的放矢，有章可循，便于學生發現和探究數學規律.