關于《復變函數論》教學改革的實踐研究

中原工學院理學院 王 鑫 焦成文

《復變函數論》是大學本科階段數學專業的必修課程之一，其重要性不言而喻。20世紀以來，復變函數作為一個重要工具被廣泛地應用在眾多領域，如理論物理、工程力學、流體力學和彈性理論等，并已經滲透到數學的各個分支，如解析數論、代數數論、偏微分方程的初邊值問題和代數幾何理論等。近幾十年來，我國數學教育工作者對《復變函數論》課程的教材編寫和課程改革進行了很多有益的嘗試和努力，然而教學內容和教學模式仍存在一些問題和弊端。為了適應新形勢下的高等教育，實現培養理論基礎知識和社會實踐能力強的大學生的目標，有必要對這門課程的教學進行一些改革的嘗試，下面從教學方法和課程建設兩方面來談下改革的內容和思路。

一、教學方法改革

《復變函數論》教材由四川大學數學學院鐘玉泉教授編寫，一般需要一學期共60學時完成，為了使學生能更好地理解和掌握教材中的知識點，需要對現有的教學方法作適當改進和調整。

1.類比教學。

《復變函數論》教材中的一些內容，如復數的概念、復數的四則運算、復數的模、復數的乘冪和方根是中學階段學過的內容。還有一些內容，如復變函數的極限和連續、復變函數的導數和微分、復級數的斂散性判定和解析函數的泰勒展開等和《數學分析》相關的內容十分相近。因此，在講授這些內容時，應該多與學生高中所學的這部分內容以及《數學分析》中對應的內容作類比，指出前后的承接關系和異同。

2.案例教學。

傳統的教學模式都是重理論輕應用的填鴨式教育，學生往往忽略抽象的定理背后所隱藏的生動的實例，也因此大多數學習這門課的學生都會覺得書上的定理證明和概念公式太多，從而對課程的學習失去興趣和信心。因此教師在講課過程中應該多從例子入手，引出定理。例如，講授柯西-黎曼方程時，可以先列舉幾個解析函數，驗證它們滿足柯西-黎曼方程，再通過幾個反例，驗證柯西-黎曼方程不成立，最后得到解析函數可微的必要條件，即柯西-黎曼方程。通過一系列正例尤其是反例，加深學生對定理的理解和運用。

二、課程建設改革

《復變函數論》的知識點大多都比較抽象，為使學生更加清晰地了解和認識這門學科，在教學方法改革的同時，需要進行相應的課程建設。

1.數學文化建設。

復變函數的研究起源于求解代數方程，當一元二次方程根的判別式小于零時，就會遇到復數開方的問題。16世紀意大利科學家卡爾丹在1545年求解三次代數方程時，產生了復數開方的思想。之后歐拉、高斯等給出了復數理論的系統描述。19世紀以后，柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等形成了系統的復變函數理論研究體系 ?？梢哉f，從復變函數的起源到發展到成熟，再到最新的進展，整個課程都滲透著濃厚的數學文化。教學過程中，可以適當增加一些復變函數學科的發展歷程和一些數學家的逸聞趣事，以激發學生學習該課程的興趣。

2.精品課件建設。

在教學過程中，多媒體發揮了重要的作用，通過一些具體的圖形展示，如若爾當曲線、支割線、積分曲線和積分區域等，可以使抽象的問題具體化和形象化，所以精品課件的建設顯得非常重要。一個好的課件可以提升學生學習的興趣和更加豐富地展現課程的魅力，使學生“看明白，聽清楚，想透徹”。教師在教學過程中，可以結合自己的講課經驗，博采眾長，搜集一些精美的圖形圖片和優美的數學證明，利用多媒體教學，以大大提高教學效果。

3.發散思維建設。

教學過程中應提倡“一題多解”，發散學生思維，使學生能舉一反三，觸類旁通。例如，求閉曲線上的復積分時，可以用柯西積分公式和留數定理兩種方法給學生分別展示求解過程。證明解析函數的羅爾定理時，可以用解析函數的平均值定理和最大模原理來分別演示證明。還有，在證明代數學基本定理時，學生應該會運用劉維爾定理和魯歇定理這兩種方法來證明，以增加對各個定理和原理的融會貫通的能力。

總之，在復變函數的教學過程中，教師應改革傳統的教學方法和加強課程建設，用新的教學理念指導，精心設計每一節課，在教學過程中讓學生充分參與和享受課堂，使得學生能系統地掌握復變函數的理論方法。

[1]鐘玉泉.復變函數論 [M].高等教育出版社，2013.

[2]貝爾.數學大師：從芝諾到龐加萊[M].上?？萍冀逃霭嫔?，2004.

[3]張繼兵，高云柱.關于復變函數論課程教學改革的思考 [J].吉林農業科技學院學報，2013，22，111-113.

[4]黎延海.復變函數課程的教學改革與實踐 [J].創新教育，2010，35，187.