固有周期公式的推導及拓展

摘 要：本文從兩個不同的角度推導出了簡諧運動的周期公式T=2πmk。在研究小角度擺動的單擺時，首先證明了其為簡諧運動，找出了比例系數k，推導出單擺的周期公式T=2πlg。隨后對其他情況下斜面上的單擺、處于向上加速系統中的單擺、向下加速系統中的單擺的周期進行了深入的探討。

關鍵詞：簡諧運動；周期公式；導數；非慣性參考系

人教版物理選修3-4第十一章《機械振動》第17頁指出：惠更斯確定了計算單擺周期的公式：T=2πlg，書上對于惠更斯是如何得到這個公式的沒有給出具體的過程，而是以結論的形式直接給出的。現在簡要說一下個人的一些思路。不妨先從彈簧振子入手。

如圖（1）所示：以角速度ω沿半徑為R的圓軌道做逆時針勻速圓周運動質點P在初始時刻對應的角度為φ，經過時間t，質點轉過的角度為ωt，此時質點P對應的角度為ωt+φ，

位移為：x=Rsin（ωt+φ）=Asin（ωt+φ），

顯然質點在x軸上的投影為簡諧運動。做圓周運動的向心加速度為：x

an=ω2R，在x軸上的分量大小為：ax=ω2Asin（ωt+φ），

簡諧運動的回復力的大小為：F回=kx=kAsin（ωt+φ），

圖（1）

則根據牛頓第二定律有：F回=kx=kAsin（ωt+φ）=max=mω2Asin（ωt+φ），

則有：k=mω2，即k=m4π2T2，所以有T=2πmk（圖1）

換個思維方法：簡諧運動的位移和時間的關系式為：x=Asin（ωt+φ）

在位移-時間圖象中，斜率表示速度。

因此上式對時間t求導：v=dxdt=Acos（ωt+φ）.ω

在速度-時間圖象中，斜率表示加速度。因此上式對時間t求導：

a=dvdt=-Aωsin（ωt+φ）。ω=-Aω2sin（ωt+φ）

簡諧運動中回復力與位移的關系為：F回=-kx=-kAsin（ωt+φ）=ma

將以上兩式聯立得：k=mω2，即k=m4π2T2，所以有T=2πmk（其中k為比例系數）

上式對于任意的簡諧運動都適用，具有普遍性。下面我們研究一下單擺的周期問題。

如圖（2），當θ較小時，F回=-mgsinθ=-mglx，可看成簡諧運動。對比簡諧運動中回復力與位移的關系：F回=-kx，可以看出k=mgl，代入T=2πmk，可得單擺的周期公式為T=2πlg

當單擺在傾角為θ的光滑斜面上小角度擺動時，如圖（3）所示。擺球受到重力mg、支持力FN和繩子的拉力F的作用。為了處理問題的方便，我們可以先將重力mg進行分解，如圖（4）所示。這樣支持力FN就被重力的分力mgcosθ給平衡掉了。使得擺球在沿著斜面上的力就只剩下繩子的拉力F和重力的分力mgsinθ了，如圖（5）所示。下面我們就可以集中精力研究沿著斜面上的力學問題了，如圖（6）所示。則有：

F回=-（mgsinθsinφ）=-（mgsinθxl）=-mgsinθlx，對比F回=-kx，可知k=mgsinθl，代入

T=2πmk，得T=2πlgsinθ，下面我們來研究一下非慣性參考系中單擺的周期問題。

一、 單擺處于向上加速的電梯中

向上加速的電梯是一個非慣性參考系，為了使牛頓第二定律在形式上依然成立，可以在非慣性參考系中引入慣性力ma，F回=-（mg+ma）sinθ=-（mg+ma）xl，對比F回=-kx，可知k=mg+mal，代入T=2πmk，得T=2πlg+a

二、 單擺處于向下加速的電梯中

同理在非慣性參考系中引入慣性力ma，F回=-（mg-ma）sinθ=-（mg-ma）xl，對比F回=-kx，可知k=mg-mal，代入T=2πmk，得T=2πlg-a

參考文獻：

[1]漆安慎，杜嬋英.普通物理學教程力學[M].高等教育出版社，2001.

作者簡介：

王啟平，新疆維吾爾自治區烏魯木齊市，新疆實驗中學。endprint