一元函數的定積分計算

李聰+郭豆豆

【摘要】微積分是高等數學學習的重要內容，一元函數積分計算對學生思維的發展以及后繼課程的學習有重要的作用.本文討論了一元函數定積分的計算方法，其中主要涉及了換元積分法和分部積分法，同時分類討論了有理函數、三角函數以及簡單無理函數的積分問題，并介紹了積分上限函數的導數、牛頓-萊布尼茨公式、反常積分等理論.

【關鍵詞】一元函數；積分計算；換元積分；分部積分

不定積分和定積分是數學積分學領域的兩大基本問題.計算不定積分是求導的逆運算，計算定積分是計算某種特殊和式的極限.下面我們主要介紹定積分的計算方法.

一、換元積分法

在已經了解到求解很多函數的相應原函數都需要借助換元法或者分部積分法，所以，換元積分法以及分部積分法對定積分運算也是十分重要的.定理：如果有f（x）在閉區間[a，b]上具有連續性；x=φ（t）在閉區間[a，b]上可導，且導數連續不變號；函數x=φ（t）的值隨t在閉區間[α，β]上的改變而改變，并且φ（α）=a，φ（β）=b，于是可得∫baf（x）dx=∫βαf[φ′（t）]dt.在應用如上定理計算定積分時，一定要注意x=φ（t）需要滿足的條件，改變積分變量時要記得改變積分上下限，然后再計算新變量積分的值.

例1 計算定積分∫21x-1xdx.

解 做變換x-1=t，那么有x=1+t2，dx=2tdt.當x取1時，t=0；當x取2時，t=1.所以原式=∫102tdt1+t2=2∫101-11+t2dt=2（t-arctant）|10=21-π4.

二、分部積分法

設函數u=u（x）和函數v=v（x）都在閉區間[a，b]上可導，且導數連續，于是根據微分法則d（uv）=vdu+udv，變形可得udv=d（uv）-vdu，兩邊同時在閉區間[a，b]上積分有∫baudv=（uv）|ba-∫bavdu，如上所述式子即為定積分的分部積分公式，這里的a，b分別是x的下限和上限.

例2 計算定積分∫e1lnxdx.

解 令u=lnx，dv=dx，于是原式=[xlnx]|e1-∫e1xdxx=（e-0）-（e-1）=1.

三、有理函數定積分

有理函數定積分問題和有理函數不定積分問題往往聯系十分緊密，求解方法也類似.

例3 計算∫π412dxx4（1+x2）.

解 對被積函數進行適當拆分可得：

原式=∫π4121x4dx-∫π4121x2dx+∫π4121x2+1dx

=-13x3π412+1xπ412+arctanxπ412

=-643π2+4π-arctan12+53.

四、三角函數定積分

三角函數定積分求解問題，可以像求解三角函數不定積分問題那樣，借助萬能代換tanx2將問題簡單化.

例4 計算定積分∫2π3π2（1+sinx）dxsinx（1+cosx）.

解 令t=tanx2，則原式=∫3112t+2+1tdt=12t22+2t+ln|t|31=ln3+43-24.

五、積分上限函數的導數

設函數f（x）是定義在閉區間[a，b]上的連續函數，令x∈[a，b]，考慮定積分∫xaf（x）dx=∫xaf（t）dt.若上限x在閉區間[a，b]上隨意改變，那么對任意一個確定的x，都有一個定積分值與之對應，因為它在閉區間[a，b]上確定了一個函數，記為Φ（x）=∫xaf（t）dt，叫作積分上限函數.積分上限函數具有如下性質：設函數f（x）是定義在閉區間[a，b]上的連續函數，則積分上限函數Φ（x）=∫xaf（t）dt在閉區間[a，b]上可導，導數是Φ′（x）=ddx∫xaf（t）dt=f（x），a≤x≤b，利用該性質可以簡化某些極限問題.

六、牛頓-萊布尼茨積分法

牛頓-萊布尼茨公式完美地將定積分與不定積分結合在一起.利用該公式，能夠借助不定積分運算求解定積分問題.牛頓-萊布尼茨公式要求函數f（x）在閉區間[a，b]一定要具有連續性.不定積分與定積分原本是兩個互相獨立的存在，然而如果有連續做前提，這兩者是可以被聯系到一起的，這不僅在很大程度上方便了定積分運算，也從理論的角度為微分和積分架起了橋梁，這在整個數學分析發展歷史上都具有十分重要的意義.

七、反常積分

計算較簡單的反常積分時，應該首先考慮利用反常積分的定義，解題步驟大致可歸納為兩步：首先，計算定積分∫Aaf（x）dx=F（x）；然后，求極限limA→+∞∫Aaf（x）dx=limA→+∞F（A）.

【參考文獻】

[1]李子萍.淺談一元函數積分學的解題思想與方法[J].臨滄師范高等?？茖W校學報，2007（4）：91-94.

[2]劉春華，張麗娜.一元函數不定積分的思想技巧[J].科技展望，2016（14）：231.

[3]董云.淺談可積分一元函數的不定積分的解法[J].華夏星火，2005（Z1）：67-68.

[4]華東師范大學數學系.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2010.endprint