淺談貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系和應(yīng)用

劉小艷 嚴(yán)鈞

【摘要】本文給出了貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布之間的關(guān)系，并將這些關(guān)系應(yīng)用到中心極限定理和大數(shù)定律的收斂速度的討論中.

【關(guān)鍵詞】貝努利試驗(yàn)；二項(xiàng)分布；兩點(diǎn)分布

【基金項(xiàng)目】江蘇省自然科學(xué)基金，金融保險(xiǎn)中的大偏差和定價(jià)（編號(hào)202010006）.

本文給出了貝努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布之間的關(guān)系，并將應(yīng)用這些關(guān)系來(lái)討論中心極限定理和大數(shù)定律的收斂速度.

定義1 （貝努利試驗(yàn)）在n重獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，如果每次試驗(yàn)的結(jié)果只有兩種，則稱該n重試驗(yàn)為貝努利試驗(yàn).

定理1 （貝努利定理）設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則在n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

定義2 （二項(xiàng)分布）如果隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），則隨機(jī)變量X的分布律為P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，k=0，1，2，…，n.

定理2 貝努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布的關(guān)系：在n重貝努利試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的次數(shù)服從二項(xiàng)分布.

定理2的證明 設(shè)X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則P（X=k）表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率；另一方面，由貝努利定理我們知道，n重貝努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率為Cknpk（1-p）n-k，所以P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k，即X服從二項(xiàng)分布B（n，p）.

二項(xiàng)分布和兩點(diǎn)分布的關(guān)系：二項(xiàng)分布B（1，p）即為兩點(diǎn)分布；二項(xiàng)分布B（n，p）可以看成是n個(gè)獨(dú)立同分布的兩點(diǎn)分布的和.設(shè)X～B（n，p），X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列P（X1=1）=p，則X和∑nk=1Xk具有相同的分布.要證明X與∑nk=1Xk同分布，只需要證明X與∑nk=1Xk具有相同的特征函數(shù).X的特征函數(shù)為（1-p+eitp）n，∑nk=1Xk的特征函數(shù)為（E（eitX1））n=（1-p+peit）n.X和∑nk=1Xk的特征函數(shù)相同，所以它們具有相同的分布率.

下面我們給出X和∑nk=1Xk具有相同的分布這一結(jié)論的兩個(gè)應(yīng)用.

應(yīng)用1 由中心極限定理知，∑nk=1Xk-npnp（1-p）近似服從N（0，1），由于正態(tài)分布的線性函數(shù)仍然是正態(tài)分布，所以∑nk=1Xk近似服從N（np，np（1-p）），所以X也近似服從N（np，np（1-p）），這樣我們就可以用一個(gè)正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布.

應(yīng)用2 由大偏差理論，對(duì)于任意的ε>0，有

P∑nk=1Xkn-p>ε≌exp{-ninf{I（x）：x∈（-∞，p-ε）∪（p+ε，+∞）}}，

其中I（x）=supθ∈R{θx-log（1-p+peθ）}>0，故∑nk=1XknPp，而X和∑nk=1Xk同分布，所以XnPp，而Xn表示事件A發(fā)生的頻率，p為事件A的概率，XnPp表示頻率穩(wěn)定于概率，并且，Xn“快速”穩(wěn)定到p.

【參考文獻(xiàn)】

[1]茆詩(shī)松，程依明，濮曉龍.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]杜海霞.貫穿概率論的n重貝努利概型[J].價(jià)值工程，2014（29）：289-290.

[3]王君.概率論貝努利概型課堂教學(xué)中的思維訓(xùn)練設(shè)計(jì)[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（3）：98-101.

[4]孔運(yùn)，王淵.貝努利試驗(yàn)的推廣及應(yīng)用[J].科技傳播，2013（24）：120-122.

[5]Amir Dembo，Ofer Zeitouni.Large Deviations Techniques and Applications[M].Berlin，Heidelberg：Springer，1998.endprint