淺談不定積分的計算方法與技巧

張智

【摘要】不定積分是微積分學中的重要內容之一，也是高職學生學習的難點之一.為了幫助學生更好地學習掌握這一知識，本文對不定積分的計算提出幾種解題思路，并結合實際例題加以說明.

【關鍵詞】不定積分；湊微分法；分部積分法

不定積分是微積分學中的一個重要內容，它對學生學好后續的知識起著至關重要的作用.目前，高職數學教學過程中普遍存在課時少、任務重、學生學習習慣不好的情況，學生在不定積分的學習過程中，往往感覺抽象、難懂、枯燥，對積分的各種計算方法更是茫然不知所措，這在很大程度上影響了他們對數學學習的興趣和積極性.針對這種現象，筆者就湊微分法（第一類換元積分法）和分部積分法的使用，通過舉例的方式談談自己的教學體會.

一、湊微分法

（一）抓出“障礙物”求微分

例1 ∫（2x+1）8dx.

解 原式=∫（2x+1）8·12·d（2x+1）

=12∫（2x+1）8d（2x+1），

令u=2x+1

12∫u8du=118u9+C 回代 118（2x+1）9+C.

根據不定積分基本公式表中第2個公式——∫xμdx=xμ+1μ+1+C（μ≠1），容易知道∫x8dx=19x9+C，對照例題發現2x+1這個被積函數就是影響我們直接套用公式的“障礙物”，就需要把它抓出來求微分，運用微分的定義dy=y′dx計算后找出12，乘進去，等式前后才成立，接下來應用湊微分法求不定積分的步驟及基本公式就可完成解答.

其他類似的問題，比如，對照公式∫exdx=ex+C，∫e100xdx式子中的100x；對照公式∫sinxdx=-cosx+C，∫sin（3x-2）dx式子中的3x-2；對照公式∫1xdx=ln|x|+C（x≠0），∫1ax+bdx（a，b為實數，且a≠0）式子中的ax+b.這些都是影響我們套用公式計算的“障礙物”，在這里都要分別把它們找出來求微分，找出能讓等式成立的常量，接下來按常規步驟都能完成計算.

（二）重新包裝求微分

例2 ∫xsin（x2+1）dx.

解 原式=∫sin（x2+1）·xdx

=∫sin（x2+1）·12d（x2+1），

令u=x2+1

12∫sinudu=12（-cosu）+C

回代 -12cos（x2+1）+C.

因為xdx=12d（x2+1），將xdx項換成另一種形式，即換成12d（x2+1），接下來就可以按部就班地完成該題的求解過程.

二、分部積分法

（一）直接用公式求解

例3 ∫lnxdx.

解 原式=xlnx-∫xd（lnx）=xlnx-∫x·1xdx

=xlnx-∫dx=xlnx-x+C.

對應分部積分公式∫udv=uv-∫vdu，這里u=lnx，v=x，套用公式可完成解答.

（二）重新包裝成∫udv的樣式，用公式求解

例4 ∫xexdx.

解 原式=∫xd（ex）=xex-∫exdx=xex-ex+C.

弄清u，v很重要，公式中dv的v是原來函數通過微分的知識變形后得出的.此題中exdx=d（ex），這樣就可以套用公式∫udv=uv-∫vdu，這里u=x，v=ex，很容易完成解答.

例5 ∫x3lnxdx.

解 原式=∫lnxd14x4=14x4lnx-∫14x4d（lnx）

=14x4lnx-14∫x3dx=14x4lnx-116x4+C.

這里x3dx=d14x4，u=lnx，v=14x4，接下來套用公式就能完成計算.式子中出現的被積函數，要挑出一個函數做出變形.做出變形的先后順序為：指數函數（如，ex）、三角函數（如，sinx，cosx）、冪函數（如，x，x2，x3，…）、對數函數（如，lnx）、反三角函數.

不定積分的計算靈活性很強，在教學過程中，教師需要引導學生多練習、多思考、多接觸不同積分的求法，才能更好地讓他們掌握不同積分的解題套路，從而達到運用自如的目的.endprint