高等代數與空間解析幾何的優化教學

劉海琴

【摘要】本文簡單敘述了高等代數和空間解析幾何兩門課程存在的相互關系，結合兩者內容上的相互關聯點，著重分析了如何優化兩者的教學，并結合實例予以佐證.

【關鍵詞】高等代數；空間解析幾何；優化教學

高等代數和空間解析幾何，是本科數學相關專業的兩大專業基礎課程.前者的主要內容是多項式理論、矩陣理論、向量空間和線性變換理論；而后者的主要內容是向量代數、空間直線和平面、常見曲面、坐標變換、二次曲線方程的化簡等.一般學校的課程安排都是兩門課同時進行或者空間解析幾何在高等代數開始一個學期后相繼開設.由于兩門課程的內容中有一部分是有直接關聯的，相應的空間解析幾何中的相關內容是對高等代數知識的具體幾何支撐.因此，最近幾年有一些“對兩門課程實行一體化教學”的建議，也有一部分學校開始實施相應的改革，將這兩門課程合并為一門課程，所用的教材有：陳志杰的《高等代數與解析幾何》、孟道驥的《高等代數與解析幾何》等.

一、實行一體化教學的優缺點

高等代數是研究線性空間以及在線性空間基礎上的線性變換的學科.課程中大量的公式及定理、推論的推導證明采用嚴格的演繹論證方法，特點是抽象程度高、邏輯性強.學生在學習知識點時，很難深刻理解其中的抽象概念和復雜結論，學習效率不高.相反，若將這些理論與空間解析幾何的知識相關聯，利用幾何直觀方法，把抽象的問題形象化[1].學生結合直觀的形象對抽象內容加以理解，可以更好地理解概念，發現研究思路，有效開展推理、猜想，直至問題解決.因此，在具體教學中采用幾何直觀與演繹論證相結合的方法，一來是學生學好高等代數的需要，再者對培養學生分析問題的能力和養成科學的思維品質都具有十分重要的意義.事實上，高等代數為空間解析幾何提供研究方法，而空間解析幾何為高等代數提供直觀幾何背景.一些學校之所以將兩門課程合為一門課程也就是出于以上原因，在這兩門課程中有一部分知識點是相互關聯的，如果能夠將兩門課程適當結合起來，或者在兩門課程的講授過程中讓知識點相互融會貫通、相輔相成，對于學生對兩門課程的掌握都大有益處[2].

但是，將兩門課程合為一門課程，大家也一直在探討.因為所謂的一體化教學，不能僅僅是對現有的兩門課程的簡單的合并、修改，而是在整個理論體系下優化課程體系，整合教學內容.同時，進行一體化教學也有弊端存在.首先，在教學過程中可能會側重于高等代數知識的理論講解，而將幾何知識僅僅作為對代數知識的理論解釋，因此，就不會形成一個完整的幾何知識體系.其次，進行一體化教學后，如果將課時長改為兩門課程的課時長之和會略顯拖沓，學生在第一年時會有兩門這樣的課程（另外一門是數學分析），導致教學效果不好.最后，進行一體化教學，還要求授課教師對兩門課程的知識體系相當熟識且能做到融會貫通，一定程度上會加大教師備課的負擔.那么，在現有的情況下，我們需要權衡一體化教學下兩門課程的輕重，要想辦法來對兩門課程進行更好的協調，以促進教學.

二、一體化教學過程中如何優化教學

“翻轉課堂”（Flipped Classroom），此教學理念最早出現在19世紀，是由General Silvanus Thayer在教學中所總結的一套方法.具體指的是：在課前學生學習教師提前發放的資料，課堂上用來批判性思考，并結合小組協作的方式解決問題，這是翻轉課堂的雛形[5].

所謂“翻轉課堂”，實質上是對傳統的教師講授、學生接受的模式進行了翻轉.學生可以在課前學習教師提前提供的學習資料，而課堂時間用于學習討論，小組協作解決問題.如果將高等代數和空間解析幾何兩門課程進行合并教學，為了提高學生的學習效率，達到預期的教學目的，可以將“翻轉課堂”的這一教學理念應用于教學中.鑒于兩門課程的一些內容是相輔相成的，在學習的過程中教師可以先對高等代數中的理論知識進行講解，讓學生對相應的知識體系得以系統地掌握.隨后將相對應的空間解析幾何中的那部分內容留給學生自己學習，讓學生分組課下討論，通過對高等代數知識的應用理解，找到兩門課程的結合點.用高等代數的理論知識去解釋幾何中的問題，在此過程中，一方面，學生理解了代數中枯燥的理論知識，另一方面，也更好地學習了這些理論知識在幾何中的直觀的應用背景.

下面本文從一個實例出發討論一下如何進行具體的教學.

高等代數中，向量的線性相關性也是一個相對較抽象、較難理解的知識點.但是，在解析幾何這門課程中卻有相應知識點與之對應，因此，可以在進行兩個相應的知識點的教學過程中相互穿插，實現兩者互補[7].例如，在空間解析幾何的第二章內容中，空間直角坐標系中講到三個向量共面的充要條件時，有如下定理：ai={Xi，Yi，Zi}（i=1，2，3）共面的充要條件是X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.在講到這一知識點的時候就可以與高等代數中向量的線性相關性以及行列式相關內容相關聯.因為空間解析幾何中的所謂三個向量等價于代數內容中的“三個向量線性相關”.而在判斷向量的線性相關性的時候一個重要的辦法就是看關于λ1，λ2，λ3的齊次線性方程組（如下）是否有非零解.

X1λ1+X2λ2+X3λ3=0，Y1λ1+Y2λ2+Y3λ3=0，Z1λ1+Z2λ2+Z3λ3=0.

依據線性方程組解的理論，可知上述方程組有非零解的充要條件是其系數行列式為零，即

X1Y1Z1X2Y2Z2X3Y3Z3=0.

在進行這部分內容的教學時，如果能夠在各自的知識點中相互穿插，就能讓學生更直觀地理解所學內容，使得本來抽象程度高、邏輯性強的高等代數知識有了更為直觀的解釋，也使得相應的幾何知識有了豐富的理論背景.為此可以先講授向量的線性相關知識，然后將幾何中相應的向量的內容的學習任務留給學生，讓學生帶著任務去學習.實現課堂的翻轉，讓學生的被動接受成為主動學習.

三、一體化教學之外的優化教學的建議

目前，由于實際教學過程中，實現兩門課程的一體化教學是一個需要探究的過程.因此，在沒有高效率地更好地實現一體化教學的階段，也應該采取積極的措施更好地促進兩門課程的教學.可以從如下方面入手.

第一，盡量在同一時間段開設兩門課程，讓兩門課程在課堂講授環節相互銜接.例如，可以將空間解析幾何與高等代數下冊安排在同一個學期，因為高等代數上冊內容與空間解析幾何相互交叉的知識點相對較少，而且易于理解.

第二，兩門課程的任課教師要進行更多的知識交流，讓每一門課程的任課教師都要對兩門課程相應的知識點融會貫通.然后在此基礎上，要做到在教學中相互滲透，更好地幫助學生理解所學知識.

第三，兩門課程的任課教師相互協作，早日實現兩門課程的更系統更完整的一體化教學.作為空間解析幾何的任課教師，可以在授課過程中轉換角色，改變以往的教師為主的嚴肅無趣的數學課堂模式，讓學生成為課堂的主角；讓學生的被動接受學習轉換為主動探索學習.

【參考文獻】

[1]杜麗萍，王宏，佟玉霞.解析幾何與高等代數相互滲透的教學研究[J].數學學習與研究，2011（3）：11-12.

[2]楊德貴.高等代數與解析幾何一體化教學改革的探索[J].貴州師范大學學報（自然科學版），2005（4）：97-100.

[3]陳志杰.高等代數與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2000.

[4]郭民，孔凡哲.高等代數與解析幾何課程整合的思考[J].內蒙古師范大學學報（教育科學版），2007（5）：135-138.

[5]毛建耀，符麗珍，張肇熾.關于“高等代數”教學改革的綜述與思考[J].數學教育學報，1995（3）：49-80.

[6]王元金，陳萍清.關于高等代數與解析幾何分與合的幾個問題[J].遼寧師范大學學報（自然科學版），2001（1）：105-109.

[7]孟道驥.高等代數與解析幾何[M].北京：科學出版社，1998.

[8]同濟大學應用數學系.高等代數與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.endprint