對多值函數的支點在教學中的一點思考

王玉磊+李彩娟+張瑤

【摘要】初等多值函數是復變函數教學中的難點和重點.想要分出它的單值解析分支，就必須找到它的所有支點.本文結合自己的教學體會，從多值函數的多值性原因出發，給出了判斷支點的具體步驟，使學生能更好地掌握這部分內容.

【關鍵詞】多值函數；輻角；支點

【基金項目】2017年度河南省教師教育課程改革研究項目（2017-JSJYZD-068）.

一、引 言

初等多值函數是復變函數教學中的難點和重點，對于只有單個有限支點的多值函數，利用限制輻角的方法就可以分出它的單值解析分支，但對于有多個有限支點的多值函數就不能使用該方法.需要我們先求出它所有的支點，然后適當連接支點以割破平面就能分出它的單值解析分支.如何找到它的支點就變成了首要問題.學生在學習這部分內容時普遍感覺比較難，尤其是文獻[1]中的具有多個有限支點的多值函數，其支點的判斷更加復雜.在教學中，如果處理不好這一環節，會使學生對這部分內容理解欠缺，難以接受.本文結合筆者在教學過程中的體會，對如何找多值函數的支點這部分內容，以f（z）=nP（z）為例，提出一些教學思路以供參考.

二、定義和引理

定義1[1] 一般地，具有這種性質的點，使得當變點z繞這點一整周回轉至原來位置時，函數值與原來的值相異，則稱此點為多值函數的支點.

定義2[2] 設C是z平面內一條不經過原點的簡單曲線，z1是起點，z2是終點.當變點z沿C從z1連續變動到z2時，oz所旋轉的角稱為輻角函數argz沿C的連讀改變量，簡稱為輻角改變量，記為ΔCargz.顯然，ΔCargz=argz2-argz1.

引理1[1] 設有非零復數z1，z2，則arg（z1z2）=argz1+argz2.

利用上述引理可得下面結論：

推論1 設有有限個非零復數z1，z2，…，zn，則

arg（z1z2…zn）=argz1+argz2+…+argzn.

特別地，argzn=nargz，argz1n=1narg（z1n）n=1nargz，其中n為正整數.

三、f（z）=nP（z）的支點判斷

設f（z）=nP（z），其中P（z）是N次多項式，

P（z）=A（z-a1）α1（z-a2）α2·…·（z-am）αm，

a1，a2，…，am是P（z）的一切相異零點，α1，α2，…，αm分別是它們的重數，滿足α1+α2+…+αm=N.

對于這類問題，首先，要幫學生分析它產生多值的原因；其次，分析函數f（z）的終值較初值發生改變的因子是什么，并且是怎么樣得到的；再次，如何求這個因子；最后，用支點定義來判斷是否為支點.循序漸進，幫助學生更好地理解這個難點.下面就給出解決這個問題的思路.

第一步 從恒等式f（z）=|f（z）|ei·argf（z）出發，可以看出它產生多值的原因是f（z）的輻角的多值性導致的.

第二步 在z平面上任取一點z0，以z0為圓心作一個充分小的圓周C，當動點z繞C一整周時，考察函數f（z）的輻角變化.不妨在C上任取一點作為起點，記此時f（z）的輻角為arg1f（z），函數值為f1（z）；當動點z繞C一整周又回到起點位置時，記f（z）的輻角為arg2f（z），函數值為f2（z）.不難得出，ΔCargf（z）=arg2f（z）-arg1f（z）.由于同一點處函數值的模相等，所以

f2（z）=|f2（z）|ei·arg2f（z）=|f1（z）|ei·[arg1f（z）+ΔCargf（z）]

=|f1（z）|ei·arg1f（z）ei·ΔCargf（z）=f1（z）·ei·ΔCargf（z）.

從上面式子中可以發現，函數值有沒有發生改變取決于因子ei·ΔCargf（z）.

第三步 把求f（z）的輻角改變量轉化為求關于自變量的輻角改變量.利用推論1可以得到

ΔCargf（z）=arg2f（z）-arg1f（z）

=1n[arg2A+α1arg2（z-a1）+…+αmarg2（z-am）]-1n[arg1A+α1arg1（z-a1）+…+αmarg1（z-am）]

=1n[α1ΔCarg（z-a1）+…+αmΔCarg（z-am）].

這里A為常數與z無關，所以arg1A=arg2A.

第四步 利用支點的定義可得，若ei·ΔCargf（z）≠1，則z0是函數f（z）的支點；若ei·ΔCargf（z）=1，則z0不是函數f（z）的支點.

四、小 結

上述方法對于判斷其他多值函數的支點同樣可行，比如，w=lnf（z）的支點即可按照此法求得，可把此問題留給學生課下思考，提高學生的學習積極性.總之，教學有法，教無定法.在教學中只要認真鉆研教材，堅持以學生為本，由淺入深，循序漸進，就一定能夠幫助學生牢固基礎、掌握知識.

【參考文獻】

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