試論多元微積分中方向導數的不同定義

楊發

【摘要】本文分析了多元函數在不同的教材以及參考書中所表現出的不同方向導數定義形式，同時對不同方向導數描述的方式、定義以及相互之間的關系進行了分析與闡述，最后通過大量資料文獻查閱，對多元微積分中的方向導數間不同的定義進行了深入探討.旨在幫助其他人更好地、更全面地認識多元微積分中不同的方向導數定義.

【關鍵詞】多元微積分；方向導數；不同定義

一、研究背景

在日常生活、學習與工作中均會涉及一定的方向導數方法研究、應用理論等.但因為各地區使用的方向導數教材、參考書等不同，且這些教材、參考書對于方向導數有著不同的描述方式與定義形式，因而，學生在具體的學習中很難快速、有效地將方向導數掌握到位.基于此，我們從課程教學實踐出發，需針對教材、參考書關于方向導數不同的描述與定義形式，選擇不同的角度進行分析，此外還應不斷強化教學內容知識點同現實生活實際間的聯系，只有滿足生活實際需求，才能夠讓學生更準確、更積極地去學習相關知識與理論，也只有這樣才能夠引導他們更主動、更深入地去探討相關問題，樹立起學習自信心.

在探討多元微積分中方向導數的不同定義之前，學生應對于多元微積分的相關含義、理論等有一定了解.諸如，單就一元函數而言，只要掌握了基本的Newton-Leibniz公式，便意味著已經掌握了全部的微積分概念.這是因為在這一公式中除了包含基本的微分、積分關系以外，還蘊藏著人們對這一公式基本的微積分定理.而從多元函數的角度出發，在多元函數中同樣包含積分、微分等概念，學生只需要對這些概念有一個基本了解，便能夠聯系起其他有關聯的公式.我們通過分析Newton-Leibniz這一公式便能夠發現一些問題，如在Newton-Leibniz公式應用過程中，函數區間的便捷值實質上等同函數微分在同一區間內部上的積分.隨后遵循這一分析原理便能夠得出，在同一個平面上微積分基本的定理遵循著Green公式，并且從空間情形出發，遵循這一公式就顯得非常有必要，即在曲面之上，微積分基本的定理應當是Stckes公式，通過實踐驗證也是如此，因而，在具體研究方向導數不同定義以前，必須對相關的多元微積分函數有一定了解.

二、分析不同定義

（一）定義一

設二元函數為f（x，y），在點（x0，y0）某領域內有專門定義，單位向量u=（a，b），此時定義方向導數則為以下公式：

fu（x0，y0）=limρ→0f（x0+ρa，y0+ρb）-f（x0，y0）ρ.

從上述公式定義中我們可以看出，此定義很容易推廣并得到n元函數（n≥3）的方向導數定義.

（二）定義二

設二元函數為f（x，y），其在點（x0，y0）某鄰域內有專門定義，即當向量u對應的是單位向量u={cosα，cosβ}，且α與β均是向量u的方向角.此時，定義函數f（x，y）是在點（x0，y0）沿著方向u，則得到的方向導數為以下公式：

Duf（x0，y0）=limρ→0f（x0+ρcosα，y0+ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.

在這一公式中ρ可以是正也可以是負.當ρ>0時，即表示的是自變量從（x0，y0）方向沿著u方向移動的實際距離；當ρ<0時，即表示的是自變量沿著u的反方向移動的實際距離.

（三）定義三

同上述定義二的前提條件一樣，所獲得的定義方向導數為以下公式：

fu（x0，y0）=limρ→0+f（x0+ρcosα，y0+ρcosβ）-f（x0，y0）ρ.

從上述公式中可以看出，ρ所表示的是自變量沿著（x0，y0）方向向u方向移動的實際距離.

三、不同定義間的對比

本文研究與探討多元微積分中方向導數最根本的目的在于從不同的角度分析與掌握多元函數變化的方向與變化率，即了解在不同變化因素下度量事物呈現出怎樣一個發展趨勢.通常情況下，單對二元函數來講，若其所代表的曲面是簡單的平滑曲面，那么通過對以上三個定義的利用便能夠將相應的函數公式以及其是按照怎樣的方向進行變化的信息獲取到.

從上文中提到的三個定義式中我們可以看出，無論是哪一個定義式的極限值均反映的是某一個函數是如何沿著u方向進行變化的及其相關變化率.雖然從數學理論的角度出發探討定義一和定義二可以看出它們在形式上很容易便能夠同偏導數定義間結合起來進行應用.而這一結合應用又可以看成是一種偏導數定義的推廣形式，在此中偏導數更多的是沿著函數兩個特定的方向移動并獲得方向導數.然后，結合生活實際我們又會發現此中存在一些問題，如，當我們需要沿著某一個過渡不平整的地勢方向或者存在斷崖的地勢進行研究與分析時，會發現定義一和定義二在應用過程中還存在一些問題是無法將這一生活實際問題妥善解決的，進而便需要應用到定義三，這是因為定義三從實際出發能夠更好地解釋上述問題.

∫（x，y）=x2+y2.（1）

當我們需要對表示上錐面二元函數進行探討時，首先應探討的是原點（0，0）是沿著怎樣不同的方向進行變化及變化率.通過對定義一、定義二的利用我們能夠發現二元函數f（x，y）無論是沿著怎樣的方向，其中涉及的方向導數均不存在.然而，我們又圍繞實際生活出發對相關問題進行探討可以發現，當所面對的是一個連續曲面時，所得到的結論明顯是錯誤的.但若按照定義三進行分析，那么問題便能夠得到妥善處理.這是因為在原點（0，0）位置上，二元函數f（x，y）無論是沿著怎樣的方向進行變化，其最終都可以得到準確的函數變化率，且得到的變化率均等于1.

但需要注意的是這一定義并不能夠同偏導數的定義有效銜接到一起，這便是定義三主要的缺陷所在，但是其和偏導數都是沿著坐標軸的正方向位置進行變化的，且所得到的變化率與偏導數是一樣的.顯然這一結論對于解決生活實際中的問題意義重大.正因如此，在多元微積分教學中應當圍繞生活實際開展教學活動，教學的重點也應當圍繞實際問題進行.而通過對上述三個定義的觀察與分析，最適合應用于解決生活實際問題的便是定義三，這是因為其更貼近學生生活實際，更契合學生基本的社會認知能力.endprint

四、注意事項

針對不同教材及參考書中針對多元微積分方向導數所給出的定義不同，我們針對不同定義對方向導數在計算條件充分的情況下，如何快速進行計算以及相關的計算方式進行了分析與探討.本文將要以二元函數為案例進行分析，若函數f（x，y）是在（x，y）所處的位置上，那么函數在（x，y）這一點上是朝著u的任意方向進行移動，并獲得相關方向導數的，正如以下公式：

fu（x，y）=fx′（x，y）cosα+fy′（x，y）cosβ.（2）

在以上公式中可以看出cosα與cosβ是向量u方向的余弦.但這一環節需要引起重視的便是：在應用以上公式進行函數方向導數計算時，其前提條件便是函數可微.但是，從教學實踐出發，即便函數不是可微的，甚至其中涉及的兩個偏導數均不存在，均不會影響到函數方向導數，即函數方向導數都有可能存在，而針對這一情況想要計算出函數方向導數，則需要利用專門的定義式來計算和分析.如，當二元函數（1）在原點（0，0）的位置上不可微，那么兩個偏導數顯然是不存在的，而此時應當按照定義三對這一函數有關的原點位置是否是朝著任意方向進行移動的進行驗證，即相關的方向導數全部存在，且都為1.但是，函數只要是沿著某一個方向移動，且方向導數不存在，這便意味著函數不可微.一旦出現函數不可微的情況，在方向導數計算時便需要使用到（2）這一公式進行計算，并且其所獲得的函數如下：

f（x，y）=ρsinθ，（x，y）∈D1，

1，（x，y）∈D1，

0，（x，y）∈D2.

從上式中可以看出，D1所代表的是心形線ρ=1-cosθ內部，D2所代表的是心形線ρ=1-cosθ外部，并且最終獲得結果并不在x軸之上，D3所代表的是x軸，此中ρ所表示的是（x，y）點到原點間的距離.這一函數是從沿著原點位置的任意方向移動的，且u0=（cosα，cosβ）點位上的偏導數以及方向導數均是存在的，此外當α=θ，β=π2-θ時，所得到的公式如下：

fx′（0，0）cosα+fy′cosβ=0·cosθ+1·sinθ=sinθ.

然而，這一函數在原點的位置不可微.當函數是朝著某一點位置向任意方向移動，且方向導數均存在，那么函數在這一點位上能否連續進行，一時間難以確定，正如以下函數：

f（x，y）=y3x，x≠0，0，x=0.

針對原點（0，0）的位置應當是沿著任意方向移動，且方向導數均存在，但是我們通過截取兩條不同的路徑進行分析，如，當x=y3，y=0時，便可以判定出當這一函數f（x，y）移動到（0，0）的位置時，不存在極限，由此可見這一函數所處的原點并不連續.此外，即便函數是連續且沿著任意方向移動，但最終得到的方向導數也不一定存在，如以下函數：

f（x，y）=（x+y）sin1（x2+y2），（x，y）≠（0，0），0，（x，y）≠（0，0），

如果函數在原點（0，0）的位置上保持連續，但在原點位置上除了y=-x以外，其沿著任何一個方向移動，方向導數均不存在.

即便是偏導數存在也只能夠大體獲悉函數是沿著坐標軸的方向在移動，如，正方向涉及的方向導數實質上所對應的是偏導數，負方向則對應的是偏導數的相反數，此時存在方向導數，但也僅能夠得到這些條件，并不能夠將其他的方向導數推導出來，如以下函數：

f（x，y）=xy（x2+y2）2，（x，y）≠（0，0），0，（x，y）=（0，0）.

除了存在基本的坐標軸方向及其方向導數以外，沿著其他方向移動的過程中便不存在任何一個方向導數.由此可知，函數在某一點位置上的兩個方向導數均是存在的，這便無法使用到公式（2）將其他方向移動的方向導數計算出來.另外，還應當明白全微分與方向導數間的關系，從我們了解到的高等數學教材（同濟版）中可以看出，當函數z=f（x，y）時，其在（x，y）點上可微，此時當函數是沿著任意一個方向移動時，存在方向導數，反之亦反.本文結合二元函數在（x，y）點上的任意一個方向前行所獲得的方向導數均存在，但這并不意味著能夠確保函數在這一點上的全微分是存在的.針對這一情況，只要教師在課堂上簡單講述一下，學生便能夠快速理解到.

五、總 結

綜上所示，首先，本文結合生活學習實踐，針對不同多元微積分教材與參考書中所給出的方向導數不同的定義進行了研究，從三種定義出發探討了其應用在實際解題中的狀況以及其中存在的一些問題.然后，對三種定義進行了一系列對比分析.最后，結合工作實踐闡述了一些需要注意的內容與事項，主要目的是為了讓學生更加全面且充分地掌握不同形式的多元微積分方向導數的解題方式，但準確掌握方向導數不同定義的前提在于學生能夠充分了解多元微積分的相關含義和理論.

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