數學中的審辨式思維

王俊行

【摘要】審辨式思維是一種判斷命題是否為真或是否部分為真的思維方式.審辨式思維概括為“不懈質疑，包容異見，力行擔責”.審辨式思維不是簡單的黑與白，而是表現為一個研究范式不斷更替、不斷轉換的過程，這是一個未有窮期的演進過程.從數學的三次危機的爆發到解決，可以看到審辨式思維在數學發展中起到了非常關鍵的作用，敢于挑戰權威不斷質疑，使數學發展得更加完美.審辨式思維必定在今后的數學研究中發揮出應有的作用.

【關鍵詞】審辨式思維；數學發展；三次危機

一、審辨式思維

審辨式思維是一種判斷命題是否為真或是否部分為真的思維方式.審辨式思維的源頭在西方可以追溯到古希臘時蘇格拉底的方法，在東方可以追溯到古印度佛教的《卡拉瑪經》（一部以倡導懷疑精神為突出特色的經典）和《論藏》等佛教經典.審辨式思維概括為“不懈質疑，包容異見，力行擔責”[1].具有審辨式思維能力是創新型人才的重要心理特征.具備審辨式思維的人，對于復雜的問題，不輕易相信所謂的“科學真理”，不相信唯一的標準答案，認為不同前提條件和假設能夠得到不同的結論，同一事物具有多面性.具有審辨式思維能力的人思想解放、勇于創新、絕不保守.

二、審辨式思維在數學發展中的作用

數學的三次危機都是審辨式思維的運用的典型案例，成功地化解危機，完善和推進了數學的發展.第一次數學危機：古希臘著名哲學家芝諾（約公元前490年到公元前425年）提出的四條悖論是第一次數學危機的誘因之一.他對畢達哥拉斯學派的質疑引發了數學上的一次革命，從而定義了無理數.令人遺憾的是希帕索爾被保守的畢達哥拉斯學派投入了大海，以生命推進了數學的發展.第二次數學危機：在17、18世紀圍繞微積分的基礎定義發展開展的一場討論，其中一個關鍵的問題就是無窮小量究竟是不是0？無窮小及其分析是否合理？從而引起了數學階段第二次危機.羅爾甚至說：“微積分是巧妙的謬論的匯集.”波爾查諾、阿貝爾、柯西等數學家長達半個多世紀對這些問題的審辨解決了18世紀數學思想的不嚴密性，完善了微積分理論，無窮小、無窮大更加熠熠生輝.第二次危機沒有阻礙到微積分的發展和廣泛應用，反而推進了微積分在物理天文中等更廣闊領域的發展.對微積分的審辨遠遠沒有結束，馬克思在他的《數學手稿》中就明確指出求導運算應該是嚴格的、特定的00，批判了所謂的“無限趨近”的說法.第三次數學危機：這次危機是由于在康托的一般集合理論的邊緣發現悖論造成的.這些悖論演繹成各種通俗易懂的數學故事，最著名的是羅素于1919年給出的理發師問題：理發師公布了一個原則，他給本村中所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只給村里的這樣的人刮臉.當有人問他是否給自己刮臉時悖論就出來了：如果他給自己刮臉，那么他就不符合他的原則；如果他不給自己刮臉，那么按照原則就該為自己刮臉，自相矛盾.因為集合概念已經滲透到眾多的數學分支，成為數學的基礎，因此，引起了對數學的懷疑.危機的逐漸解決直接促進了公理集合論的發展.當然，第三次數學危機是一次深刻的危機，一些問題還在繼續的審辨之中，對它的不斷質疑必將推動數學的進一步發展.

非歐幾何的發展也是審辨式思維運用的成果.從數學史知道在羅巴切夫斯基（N.Lobatchky）、高斯（C.Gauss）創立非歐幾何前，受傳統思想的束縛，1 800多年幾乎所有數學家都認為歐氏幾何是物質世界和此空間內的圖形性質的正確理想化.實際上歐式幾何對平行線的公設做了大量的解釋，并且在運用中也非常謹慎，能避開不用時盡量不用，顯示出了極不自信.正是因為高斯、羅巴切夫斯基、蘭伯特等人運用審辨式思維對前人的質疑，從而出現了非歐幾何，幾何學才從傳統的束縛中解放出來，大批幾何學產生了.所以M·克萊因認為：“數學是一門知識體系，但它卻不含任何真理.”[2]克萊因之所以認為數學中沒有真理，一方面，是因為數學的一些分支中的定理與另外一些分支中的定理是相左的[3].所謂真理是放之四海而皆準，是經過理論—實踐—再理論—再實踐的過程.然而，數學作為抽象理論，有些是無法檢驗的或者是現代理論無法驗證，如平行公設、無窮小、無窮大、n維空間等等.克萊因認為科學是在尋求關于物質世界的真理，而數學并非如此.他雖然否認數學中存在真理，但他深信數學是人們征服自然的神奇力量.數學一直在審辨中發展，不斷地質疑促進了科技的進步和人類的發展.愛因斯坦曾經說過：“科學行之有效，但它是否就是真理.”這個觀點和克萊因不謀而合.數學被稱為科學皇冠上的那顆明珠，越來越深刻地影響著人們的思維，改變著人類非黑即白的觀念，引導著人們“不懈質疑，包容異見，力行擔責”.數學在不斷地質疑中不斷發展.英國大數學家懷特海曾預言：“在人類思想領域，具有壓倒性的新的情況將是數學地理解問題占統治地位.”[4]

三、審辨式思維方法為數學研究打通了一條通途

進入20世紀中葉，在哲學界、科學界等學術共同體中，對絕對真理持以根本的懷疑和高度的警惕成為主流，并逐漸影響到其他學科和一般大眾.審辨式思維以此為基礎在數學領域發揚光大，從亞里士多德到牛頓，從牛頓到愛因斯坦，他們的理論都是正確的，都是科學的，然而都只是在某個范式下正確、科學.在不同的研究背景下可以得到不同的結果，沒有一元的本質（essence），只有多元的特質（trait）.論證與反駁一起，構成了思辨的核心，數學的發展必定在審辨中前行.

【參考文獻】

[1]謝小慶.審辨式思維[M].上海：學林出版社，2016.

[2]鄧東皋，孫小禮.數學文化[M].北京：北京大學出版社，1990.

[3]孫宏濤.小議數學發展的哲學問題及其在數學與計算機科學關系中的表現[J].數學的實踐與認識，2003（1）：101-110.

[4]黃祥.數學方法論[M].重慶：重慶大學出版社，1995.endprint