一道江蘇高考數學試題的再推廣

摘 要：本文以2012年江蘇高考理科第19題為例，在前人研究的基礎上，筆者進行了進一步地探究和推廣，給出了前人結論的新證并得出了兩個新結論以及它們的證明，最后對該問題進行了更深入的討論。

關鍵詞：圓錐曲線；探究和推廣；討論

一、 引言

2012年普通高等學校招生全國統一考試（江蘇卷）第19題文對其利用圓錐曲線與直線方程聯列求解，將其推廣得到：

定理1 在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（雙曲線x2a2-y2b2=1）（a>0，b>0）的左右焦點分別是F1（-c，0），F2（c，0）。設A，B是橢圓（雙曲線）上位于x軸同側的兩點且直線AF1和直線BF2平行，AF2與BF1交于P點，則PF1+PF2=a2+c2a。

本文對上述定理1給出不同與文的證明，并將定理再做進一步推廣，得到：

定理2 在平面直角坐標系xOy中，橢圓（雙曲線）的左、右焦點是F1，F2，橢圓（雙曲線）的長半軸（實軸）在x軸方向且長為a，短半軸（虛軸）在y軸方向且長為b，半焦距長為c，設A，B是橢圓（雙曲線）上位于長半軸（實軸）所在直線的同一側的兩點且直線AF1和直線BF2平行，AF2與BF1交于P點，則PF1+PF2=a2+c2a。

定理3 在平面直角坐標系xOy中，橢圓（雙曲線）的左、右焦點是F1，F2，橢圓（雙曲線）的長半軸（實軸）長為a，短半軸（虛軸）長為b，半焦距長為c，設A，B是橢圓（雙曲線）上位于長半軸（實軸）所在直線的同一側的兩點且直線AF1和直線BF2平行，AF2與BF1交于P點，則PF1+PF2=a2+c2a。

二、 結論的證明（定理均僅給出橢圓的證明，雙曲線類似）

1. 定理1的新證

定理1的新證

證明 設AF1=m，BF2=n

因為AF1//BF2，所以nm=PBPF1=2a-n-PF1PF1。

則

PF1=m（2a-n）m+n，

同理

PF2=n（2a-m）n+m，

故

PF1+PF2=2a（m+n）-2mnm+n=2a-11m+1n。

下面計算1m+1n的值，設∠AF1F2=θ，

cosθ=4c2+m2-2a-m24cm=ma-b2mc，

同理

cos（π-θ）=na-b2nc，

所以

cosθ=ma-b2mc=-cos（π-θ）=-na-b2nc，

即

na-b2nc+ma-b2mc=01m+1n=2ab2，

所以

PF1+PF2=a2+c2a。

故定理得證

2. 主要結論的證明

定理2的證明

證明 由題意得，設橢圓的中心在（x0，y0），

橢圓的方程為（x-x0）2a2+（y-y0）2b2=1，

令X=x-x0，Y=y-y0

則

X2a2+Y2b2=1，

由定理1，得PF1+PF2=a2+c2a。

故定理得證

定理3的證明

證明：以原點O為原點O′，

以橢圓長軸所在直線上側為x′軸正方向，

以短軸所在直線左側為y′軸正方向，

設∠x′ox=θ，于是將xoy坐標系逆時針旋轉θ，

即可變成x′oy′坐標系，

在x′oy′坐標系中設橢圓的中心是（x0′，y0′），

則橢圓的方程為

（x-x0′）2a2+（y-y0′）2b2=1，

再由定理2，得PF1+PF2=a2+c2a。

故定理得證

3. 討論

筆者參考文，其給出了江蘇高考題的三種不同的解法，分別是利用焦半徑、極坐標、參數方程來解決問題。受此啟發給出了定理一的新證。聯想到圖形變換的思想，將圖形平移，旋轉以后該性質是否依然成立，經過一系列的探究發現無論橢圓（雙曲線）的中心在哪個位置，無論長半軸（實軸），短半軸（虛軸）位于什么方向，PF1+PF2都是定值。

參考文獻：

[1]崔北祥.五年高考真題匯編理科數學[M].合肥：安徽教育出版社，2015.

[2]鄭良.2012年高考數學江蘇卷第19題的推廣及教學啟示[J].中學數學研究，2013（4）.

[3]朱紅喜.2012年高考數學江蘇卷解析幾何別解[J].中學數學（高中版），2012，09.

作者簡介：

陳佳佳，安徽省蕪湖市，安徽師范大學數學計算機科學學院。endprint