利用必要性 減少計算量

殷暢

做數學題當然希望步步都是等價變形，但是做某些題目實在難以達到要求時，可以想辦法降低要求，先研究必須滿足的基本條件，即先研究必要條件，讓情況變得簡單一些，減少討論和計算量，從而能夠快速便捷解題.

題1 （江淮十校高三第二次聯考文科，16）若不等式|ax3-lnx|≥1對x∈（0，1]恒成立，則實數a的取值范圍是.

分析 一般情況，先去絕對值，這樣就變成ax3-lnx≥1或ax3-lnx≤-1對x∈（0，1]恒成立.接下來，就容易出錯了.我們會把它變成ax3-lnx≥1對x∈（0，1]恒成立或者ax3-lnx≤-1對x∈（0，1]恒成立.然后分別分離參數，分別求出結果再求并.這是很顯然的想法，然而確實是錯誤的.這是因為ax3-lnx≥1或ax3-lnx≤-1對x∈（0，1]恒成立是不可以這樣拆開的，ax3-lnx≥1或ax3-lnx≤-1可能分別在（0，1]的部分子集成立，比如，ax3-lnx≥1在x∈0，12時恒成立，而ax3-lnx≤-1在x∈12，1 時恒成立，這也是可以的啊！所以，兩個不等式都在x∈（0，1]時恒成立是要求強了.

那怎么辦呢？

我們可以考慮控制一下a的范圍，利用必要性解題.由于對x∈（0，1]恒成立，顯然當x=1時，不等式成立，即有|a|≥1，即a≤-1或a≥1.

令g（x）=ax3-lnx，g′（x）=3ax2-1x=3ax3-1x.

當a≤-1時，對任意x∈（0，1]，g′（x）=3ax3-1x<0，g（x）在（0，1]上遞減，故可得g（x）min=g（1）=a≤-1.此時g（x）∈[a，+∞），而|g（x）|的最小值為0，不適合題意.

當a≥1時，對任意x∈（0，1]，令g′（x）=3ax3-1x=0，得x=313a，函數在0，313a上單調遞減，在313a，+∞上單調遞增.所以，|g（x）|的最小值為g313a=13+13ln（3a）≥1，解得a≥e23，故實數a取值范圍是e23，+∞.

題2 （2011年全國新課標卷）已知x>0，且x≠1時，lnxx+1+1x>lnxx-1+kx，求k的取值范圍.

分析 設g（x）=11-x22lnx+（k-1）（x2-1）x，由于11-x2符號不確定，比較麻煩，所以暫時放置一邊.

考慮函數h（x）=2lnx+（k-1）（x2-1）x，注意到h（1）=0.

這時候一定會有同學發現11-x2在區間（0，1）內為正，在（1，+∞）內為負.要讓g（x）>0只要h（x）在（0，+∞）內單調遞減，結合h（1）=0，正好！所以將h（x）求導，然后令其小于等于0，分離系數解決.然而，這樣做是有問題的.要求h（x）在（0，+∞）內單調遞減事實上太強了！h（x）在區間（0，1）內為正，（1，+∞）內為負就可以了，要它單調遞減有點過分了.

但是，剛才的思路不是沒有可取之處.我們不能要求h（x）在（0，+∞）內單調遞減，但是至少它在1的附近應該單調遞減.所以，有h′（1）≤0.由h′（x）=（k-1）（x2+1）+2xx2，得2（k-1）+2≤0，得到k≤0.

沒有做完，要檢驗.因為剛才只保證在x=1處的局部成立.只是必要條件，不能保證h（x）在區間（0，1）內為正，（1，+∞）內為負.

我們可以觀察（k-1）（x2+1）+2x的圖像，開口朝下，Δ=4k（2-k）≤0，所以（k-1）（x2+1）+2x≤0，而h（x）在（0，+∞）內單調遞減，結合h（1）=0，滿足題意.得證.

也可以注意到x2+1≥2x，而k-1≤-1，所以（k-1）（x2+1）+2x≤0，亦可得證.

同樣的方法再看一題.

（2010年全國卷）當x≥0時，1-e-x≤xax+1，求a的范圍.

先觀察左邊，一定大于等于0，故右邊也需要大于等于0.所以，ax+1>0恒成立.這樣就有a≥0.

然后令f（x）=1-e-x-xax+1，注意到f（0）=0，所以在0的附近必須遞減.

f′（x）=e-x-1（ax+1）2，注意到f′（0）=0，隱藏較深，還需要挖掘.

f″（x）=-e-x+2a（ax+1）3，令f″（0）=-1+2a≤0，可得a≤12.

這只能說明a>12肯定不合題意.卻不能說明a≤12就是對的.還是只研究了必要條件，不具有充分性，還需要證明.

證明 當a≤12時，e-x-1（ax+1）2≤0，即證ex≥（ax+1）2ex2≥ax+1，令x2=t，即證et≥2at+1.由a≤12，所以只要有et≥t+1，即得證.et≥t+1單獨證一下即可.

題3 （2009年天津高考文科，16）若關于x的不等式（2x-1）2

一般思路 因為不等式等價于（-a+4）x2-4x+1<0，其中（-a+4）x2-4x+1=0中的Δ>0，故有0

此法的確能夠做出，但確實不易.

我們可以觀察（2x-1）2

用必要性解題當然也不可能是萬能的.但是遇到情況復雜時，先行讓條件變得簡單一些，這一原則應該能夠讓我們更快接近題目的“真相”，從而達到快速解題之目的.