感悟數學思想

梁艷薇

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“雙基”拓展為“四基”.“四基”之一“數學的基本思想”是數學科學發生、發展的根本，也是數學課程教學的精髓.本文結合教學實踐，談談如何幫助學生在數學學習中感悟數學思想.

【關鍵詞】數學思想；感悟

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中，“雙基”被發展為“四基”，這有深刻的意義.“四基”的內涵和外延都十分豐富，怎樣把握新增加的“一基”——數學的基本思想，這是在學習新課程標準中大家更為關心的問題.數學思想是數學科學發生、發展的根本，也是數學課程教學的精髓.數學思想比較抽象，學生不容易領悟，如何幫助學生在數學學習中感悟數學思想？我在四年級下冊“商的變化規律”一課的教學中進行了嘗試.

【片斷回放】創設情境，探究規律

1探究商隨被除數的變化而變化的規律（略）

師：回顧我們是怎樣發現商的這一變化規律的？

小結：我們通過計算、觀察、比較，初步發現了規律，再舉例驗證后概括規律.我們發現除數不變，商隨著被除數的變化而變化.

2探究商隨除數的變化而變化的規律

（出示情境題）學校買來200本圖書，如果把這些圖書平均分給2個班，每個班可以分得多少本？如果把這些圖書平均分給20個班，每個班分得多少本？如果平均分給40個班呢？

學生獨立計算，匯報，教師板書.

200÷2=100（本）

200÷20=10（本）

200÷40=5（本）

師：你能用剛才的方法研究這組算式的規律嗎？仔細觀察被除數、除數和商，什么數變了，什么數不變？

師：被除數不變，除數發生什么變化？商隨著發生什么變化？先獨立觀察，比較這組算式，在工作紙上寫一寫，再把自己的發現在小組內說一說.

小組匯報，展示小組發現的規律.

生1：從上往下觀察，被除數不變，除數擴大，商反而縮小；除數縮小，商反而擴大.

師：“反而”這個詞用得好！為什么被除數不變，除數擴大，商反而縮小；被除數不變，除數縮小，商反而擴大呢？你能結合分書的事情來說明嗎？

生1：因為被除數不變，就是圖書的總本數不變，分給的班數越多，每個班分得的本數越少；分給的班數越少，每個班分得的本數就越多.

師：分析得真好！還能舉出其他的例子說明這一規律嗎？

生2：圖書的總價不變，單價越貴，買的本數就越少；單價越便宜，買的本數越多.

生3：我從家到學校走的路程不變，走得越快，所用的時間越少；走得越慢，所用的時間越多.

師：能結合生活的情境來理解商的這一變化規律，真棒！還有其他例子嗎？

生4：我們學過的五入法試商，被除數不變，除數估大，初商會偏小，所以商要調大.四舍法試商，被除數不變，除數估小，初商會偏大，商要調小.

師：你還會結合我們學過的試商和調商的方法來理解這一規律，真善于學習.

師：哪一組的同學也來說說你們的發現？

生5：從上往下觀察，被除數不變，除數乘幾，商反而除以幾.從下往上觀察，被除數不變，除數除以幾，商反而乘幾.

請具體說說你是怎樣發現這一規律的.

學生任選兩道算式舉例說明發現的規律.

師：是不是所有的除法算式都有這樣的規律？你能寫兩個算式來驗證我們發現的規律嗎？

學生嘗試舉例驗證，匯報交流.

師：除數能不能是0？誰能用一句話來簡單概括你們發現的規律？

生6：被除數不變，除數乘或除以幾（0除外），商反而除以或乘相同的數.

師：概括得真好！回顧我們是怎樣發現商的這一變化規律？

小結：同樣，我們通過計算、觀察、比較，發現規律，再舉例驗證，最后概括規律.我們發現被除數不變，商隨著除數的變化而變化.

結合以上的教學片段，我有以下的幾點思考.

一、借助情境，感悟數學思想

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出“數學思想蘊涵在數學知識形成、發展和應用的過程中，是數學知識和方法在更高層次上的抽象與概括.在義務教育階段應結合具體的教學內容逐步滲透數學的基本思想.”學生對數學思想的感悟不可能一蹴而就，而是要經歷逐步豐富、逐步拓展、逐步逼近的動態發展過程.

“商的變化規律”一課滲透函數的思想，由于受學生知識水平、認知能力和思維水平的局限，他們對函數思想的感悟往往也需要經歷從模糊到清晰，從具體到抽象，從初步理解到簡單應用的過程.教學片斷中，我創設分書這一生活化的情境，學生先獨立計算、觀察、比較，再在小組內討論發現的規律.通過交流，讓學生初步感受“被除數不變，商隨除數的變化而變化”這一函數的思想.為了突破難點，我著重借助具體情境幫助學生理解這一規律，并讓學生舉例說明.學生的思維很活躍，有的借助生活經驗想到“圖書的總數不變，分給的班數越多，每個班分得的本數越少；分給的班數越少，每個班分得的本數就越多”；“總價不變，單價越貴，數量越少；單價越便宜，數量越多”；“路程不變，速度越慢，時間越多；速度越快，時間越少”等生活中的例子，有的結合學過的試商方法來理解這一規律，“被除數不變，用四舍法試商，除數估小，商偏大”；“用五入法試商，除數估大，商偏小”.借助這些情境，使學生更透徹地理解商的這一變化規律，體會到除數和商變化的方向相反.同時通過聯想、類比、舉例，學生不斷深入思考，逐步感悟到其中蘊涵的函數思想.我因勢利導，讓學生舉例驗證這一規律，最后用簡潔的數學語言概括規律.經歷這樣的過程，學生對函數思想的認識要比教師直接講結論印象深刻得多.

借助具體情境，學生積極參與數學學習活動，不僅使學習活動生動有趣，還使學生對數學思想感悟逐步深化，進而提升自身的數學素養.

二、自主探究，感悟數學思想

數學思想的形成需要在過程中實現，只有經歷問題解決的過程，才能體會到數學思想的作用，才能理解數學思想的精髓，才能進行知識的有效遷移.凸顯知識的形成過程，讓學生感悟數學思想，關鍵是讓學生經歷和體驗一些數學知識的獲取過程.

“商的變化規律”中商隨除數變化而變化這一規律，學生不易理解.因此，新教材把這一規律移到商隨被除數的變化而變化這一規律的后面.這一細微的變化非常符合學生的認知規律，讓學生由淺入深地學習商的變化規律.本課我充分利用學生已有的知識和經驗基礎，先引導學生計算、觀察、比較發現除數不變，商隨被除數的變化而變化的規律.學生掌握了研究方法，在探索被除數不變，商隨除數的變化而變化的規律時，我引導學生借助情境通過計算、觀察、比較、歸納等數學活動，親身經歷商的變化規律的發現，概括，應用的過程，并在此基礎上推廣到商不變規律的研究.學生在發現規律、驗證規律、概括規律的實踐中，經歷了數學化的學習過程，感悟到從特殊到一般的歸納思想，發展了初步的抽象、概括能力，為后續的學習做好準備.

三、回顧反思，感悟數學思想

數學思想的獲得，一方面，是課中有意識地滲透，另一方面，還要靠學生在反思過程中深刻領悟.教學片斷中我在小結時提問：“回顧我們是怎樣發現商的這一變化規律的？”學生回顧反思，得出通過計算、觀察、比較，初步發現規律，再舉例驗證，最后概括規律.此時我適時小結“我們發現被除數不變，商隨著除數的變化而變化.”這節課不僅讓學生發現規律，理解規律，還讓學生在回顧反思中進一步深刻感悟到函數的思想及歸納思想，為后面學生自主探究商不變的規律打下基礎.教師有意識地引導學生自覺地回顧反思自己的思維過程，使獲得的數學思想更明晰、更深刻，引發學生對所學知識進行更深層次的思考.

總之，教師要自覺幫助學生在數學學習中潛移默化地感悟數學思想，使學生的數學思維能力得到切實、有效地發展，進而逐步提高學生的數學素養.新教材中所蘊含的數學思想如此豐富，如何結合具體的教學內容逐步滲透數學的基本思想，是值得繼續深入研究的問題.endprint