用切線段修正使用琴生不等式解題中所發生的錯誤

劉殷儀泓

【摘要】分析在高中數學學習中，使用琴生（Jensen）不等式進行數學解題時的常見錯誤，并揭示切線段修正的一般方法與注意事項，此方法具有一定的普遍意義，有助于提高高中生的數學解題能力.

【關鍵詞】琴生（Jensen）不等式；切線段；數學解題

琴生不等式也稱為詹森不等式，是指對于任意的凸函數f（x）以及其定義域上n個數x1，x2，…，xn，那么都有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≥fx1+x2+…+xnn；對于任意的凹函數以及其定義域上n個數x1，x2，…，xn，那么都有f（x1）+f（x2）+…+f（xn）n≤fx1+x2+…+xnn.使用琴生不等式，所任取的數值一定要位于使函數凸（或凹）的區間上，結論才能成立.但在一些典型題解中，錯誤也時有發生.例如，已知a，b，c為正實數，且a4+b4+c4=3，證明14-ab+14-bc+14-ca≤1.

原證明 令f（x）=14-x，且x∈0，169，由

f′（x）=12x（4-x）2，

f″（x）=-（3x-4）（x-4）4xx（4-x）4<0，

知f（x）是0，169上的凹函數，由琴生不等式得

14-ab+14-bc+14-ac≤34-a2b2+b2c2+c2a23

≤34-a4+b4+c43=1.

該證明的錯誤是，任取滿足a4+b4+c4=3的a2b2，b2c2，c2a2并不能保證總落在區間0，169上（0，169 由f″（x）<0而求出）.

由排序不等式：a2b2+b2c2+c2a2≤a4+b4+c4=3，可知a2b2，b2c2，c2a2都落在（0，3）內，例如，當c2很小時，a2b2就可接近3.這樣就不能使用琴生不等式直接推出本題的結論.

對原證明修正如下：

在區間（0，3）上考察原證明中的函數y=f（x），由f′（x）>0，可知它是增函數，拐點是169，38，在0，169上是凹函數，在169，3上是凸函數.從曲線y=f（x）的右端點B3，14-3向左作曲線的切線，設切點Tx0，14-x0，其中x0≠3.作草圖，從曲線的走向可知，它在[x0，3]上的一段在切線段TB的下方，而x0滿足f（3）-f（x0）3-x0=f′（x0）.

設T（x）=f（3）-f（x）3-x-f′（x）.

通過計算可知T（1）<0，而T169>0，所以x0在1與169之間.

設切線段TB的方程為y=f1（x）（x0≤x≤3），

有f1′（x）=f′（x0）>0，f1″（x）=0.

引進輔助函數

G（x）=f（x），0≤x≤x0，f1（x），x0

由前面的討論可知f（x）≤G（x），G（x）是[0，3]上的增函數，且是凹函數.由琴生不等式，在（0，3）上任取a2b2，b2c2，c2a2，有

14-ab+14-bc+14-ca

=f（a2b2）+f（b2c2）+f（c2a2）

≤G（a2b2）+G（b2c2）+G（c2a2）

≤3Ga2b2+b2c2+c2a23

≤3Ga4+b4+c43

=3G（1）=3f（1）=1.

從本例可見，并非當任取的幾個數的平均數落入使該函數凹（凸）的區間之內，就能用切線段的方法補救，還須切點的橫坐標要落在該平均數與拐點的橫坐標所形成的閉區間上才行.但此方法仍具有一定的普遍意義！例如，下題：

設正數a，b，c滿足a4+b4+c4=1，求f=a31-a8+b31-b8+c31-c8的最小值.

使用柯西不等式和均值不等式可以求出最小值是9843，但這一經典解法的技巧性非常強.若使用上述切線段方法，思路更清晰、方法更便捷.

可設f（x）=x341-x2，0≤x<1.求出f′（x），f″（x），可知在（0，1）上f′（x）>0，存在唯一的t0，使f″（t0）=0，曲線y=f（x）在（0，t0）是凹函數，在（t0，1）上是凸函數.過端點O（0，0）引一條切點不在O點的曲線的切線，可求出切點T的橫坐標13，剛巧與任取的幾個數a4，b4，c4的平均數相同，t0<13.引進輔助函數G（x）=f′13x，0≤x<13，f（x），13≤x<1， 使用琴生不等式，可求出fmin=9843.